[論文レビュー] Strongly far proximity and hyperspace topology

James F. Peters, C. Guadagni|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 11被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、Lodato近似関係のより強い形たる強far近似 $̄\mathop{\not{\delta}}\limits_{̄\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ を導入し、位相空間 $X$ の空でない閉部分集合の空間 $̄\mbox{CL}(X)$ 上に新たなヒット・アンド・ファーミス位相を確立する。主な貢献は、強包含関係によるこの新しい位相が、標準的なヒット・アンド・ミス位相やヴェトリス位相と比較不能であることを示したことである。これは、非局所コンパクト空間（例：$̄\mathbb{Q}$）でさえ成り立つ。

ABSTRACT

This article introduces strongly far proximity, which is associated with Lodato proximity $δ$. A main result in this paper is the introduction of a hit-and-miss topology on $\mbox{CL}(X)$, the hyperspace of nonempty closed subsets of $X$, based on the strongly far proximity.

研究の動機と目的

• Lodato近似関係よりも強い近似関係を定義し、超空間構成におけるより細かい位相的区別を可能にする動機を提示すること。
• 強far近似を用いて、$\mbox{CL}(X)$ 上に新たな超位相を定義し、強包含関係を組み込んだヒット・アンド・ミス枠組みを拡張すること。
• この新しい超位相の位相的性質、特にヴェトリス位相やフェル位相といった既存の超位相との関係を調査すること。
• 非局所コンパクトなT1空間（例：$\mathbb{Q}$）においても、新しい位相が標準的超位相と比較不能であることを示すこと。

提案手法

• Lodato近似 $\delta$ の強化として、自然な強包含 $A \ll_{\delta} B \Leftrightarrow A \not\delta X\setminus B$ を用いて、強far近似 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ を定義する。
• 開集合 $A$ を用いて、$V^{-} = \{E \in \mbox{CL}(X) : E \cap V \neq \emptyset\}$ および $A_{\doublevee} = \{E \in \mbox{CL}(X) : E \mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}} X\setminus A\}$ という部分基本集合を用いて、$\mbox{CL}(X)$ 上のヒット・アンド・ファーミス位相 $\tau_{\delta,\mathscr{B}}$ を定義する。
• 非局所コンパクト性の影響を分析するための主要例として、$\mathbb{Q}$ 上のアレクサンドロフ近似 $\delta_A$ を適用する。
• 背理法と集合論的議論を用いて、$\tau_{\delta}^{++}$ と $\tau_{\doublevee}^{+}$ の非比較性を証明し、一方が他方を包含しないことを示す。
• 強包含のEF性質（中間性）を用いて、非局所コンパクトな設定における包含関係の失敗を分析する。
• 近似と閉包の対応関係 $\mbox{cl}(A) = \{x \in X : x \delta A\}$ を活用し、位相的閉包を近似公理に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lodato近似関係よりも強い近似関係を定義可能か。その場合、超空間における近接性と遠隔性の区別をより精緻に表現できるか。
• RQ2 強far近似 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ と自然な強包含 $\ll_{\delta}$ の関係は何か。
• RQ3 強far近似に基づくヒット・アンド・ファーミス位相が、標準的な超位相と比較不能な別個の超位相を生成するか。
• RQ4 非局所コンパクト空間（例：$\mathbb{Q}$）において、新しい位相 $\tau_{\delta}^{++}$ が $\tau_{\doublevee}^{+}$ と比較不能であることを示せるか。
• RQ5 EF性質（強包含の間隔性）は、新しい超位相の構造を決定づける役割を果たすか。

主な発見

• 強far近似 $\mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}}$ は、Lodato近似 $\delta$ のより強い形であり、すべてのLodato公理とEF性質を満たす。
• ヒット・アンド・ファーミス位相 $\tau_{\delta,\mathscr{B}}$ は、部分基本集合 $V^{-}$ および $A_{\doublevee}$ を用いて構成され、$A_{\doublevee}$ は $E \mathop{\not{\delta}}\limits_{\mbox{\tiny$\doublevee$}} X\setminus A$ を用いて定義され、位相的適切性が保証される。
• $\mathbb{Q}$ にアレクサンドロフ近似 $\delta_A$ を適用した場合、$A^{++}$ を用いた超位相 $\tau_{\delta}^{++}$ と、$A_{\doublevee}$ を用いた $\tau_{\doublevee}^{+}$ は、どちらも他方を包含しないため、比較不能である。
• 非比較性は、コンパクト性仮定の欠落に起因する。非局所コンパクト空間では、非コンパクトな閉包を持つ集合が、一方の位相における適切な近傍が他方の位相に含まれないことを防ぐ。
• 補題3.6は、$(X\setminus B)^{++} \subseteq (X\setminus C)_{\doublevee}$ ならば $C \subseteq B$ が成り立つことを示し、強far近似の位相的帰結を示している。
• 補題3.7は、$\delta_A$ の下で $H_W \subseteq E^{++} \Leftrightarrow H \subseteq E$ が成り立つことを証明しており、これは $\mathbb{Q}$ における $\tau_{\delta}^{++}$ の構造を分析する上で極めて重要である。