[論文レビュー] Strongly $n$-Gorenstein projective, injective and flat modules

Najib Mahdou, Mohammed Tamekkante|ArXiv.org|Apr 26, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限Gorenstein次元がn以下のGorenstein射影的・単射的・平坦的加群のより単純な特徴づけを提供する、強く$ n $-Gorenstein射影的・単射的・平坦的加群を導入し、それらを研究する。主な貢献は、短い完全系列とTorの消失条件を用いた$n$-Gorenstein平坦加群の新しい特徴づけであり、従来の強くGorenstein加群に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

This paper generalize the idea of the authors in \cite{Bennis and Mahdou1}. Namely, we define and study a particular case of modules with Gorenstein projective, injective, and flat dimension less or equal than $n\geq 0$, which we call, respectively, strongly n-Gorenstein projective, injective and flat modules. These three classes of modules give us a new characterization of the first modules, and they are a generalization of the notions of strongly Gorenstein projective, injective, and flat modules respectively.

研究の動機と目的

• 強くGorenstein加群の概念を、有限Gorenstein次元の高次元への一般化を行う。
• Gorenstein射影的・単射的・平坦的次元が高々$n$である加群に対して、より単純で効果的な特徴づけを提供する。
• coherent環上での、強く$n$-Gorenstein平坦加群と有限$(n+1)$-提示を持つ加群の間の同倹を確立する。
• 強く$n$-Gorenstein加群の文脈において、Gorenstein平坦次元と平坦次元の関係を明確にする。

提案手法

• 有限平坦または射影的次元を持つ加群の完全系列を用いて、強く$n$-Gorenstein射影的・単射的・平坦的加群を定義する。
• $X$が有限平坦または射影的次元を持ち、特定のExtまたはTorの消失条件を満たす形の短い完全系列$0 \to M \to X \to M \to 0$を用いる。
• 長大な完全系列のTorおよびExt函手の性質を用い、次元の上限を導出する。
• 従来の強くGorenstein加群に関する結果を援用し、それらを$n$-Gorensteinの文脈に拡張する。
• $n$-提示および$n$-段階の分解の概念を用い、射影的および平坦的次元の条件を関連付ける。
• 有限提示の仮定の下で、強く$n$-Gorenstein平坦加群と強く$n$-Gorenstein射影的加群の同倹を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加群が強く$n$-Gorenstein平坦であるための条件は何ですか？
• RQ2 強く$n$-Gorenstein加群は、有限Gorenstein平坦次元を持つGorenstein平坦加群とどのように関係していますか？
• RQ3 有限提示加群が強く$n$-Gorenstein平坦であるための必要十分条件は何か？（特に、それが強く$n$-Gorenstein射影的であることと同値となる条件）
• RQ4 加群の分解の性質とTorの消失を用いて、Gorenstein平坦次元を上から抑えられるでしょうか？
• RQ5 $n$-提示は、強く$n$-Gorenstein加群の特徴づけにおいて果たす役割は何ですか？

主な発見

• 加群$M$が強く$n$-Gorenstein平坦であることの必要十分条件は、$fd(F) \leq n$ かつすべての単射加群$I$に対してすべての$i > n$で$Tor^i(M, I) = 0$を満たす短い完全系列$0 \to M \to F \to M \to 0$が存在することである。
• もし$M$が強く$n$-Gorenstein平坦であり、$R$がcoherentであれば、$M$は有限$(n+1)$-提示を持つ。
• 環$R$がcoherentで、加群$M$が有限提示の場合、$M$が強く$n$-Gorenstein射影的であることと強く$n$-Gorenstein平坦であることとは同値である。
• 加群$M$が強く$n$-Gorenstein平坦であれば、$Gfd(M) \leq n$が成り立つが、逆は一般には成り立たない。
• 加群$M$が強く$n$-Gorenstein平坦であれば、$fd(F) \leq n$を満たす短い完全系列$0 \to M \to F \to M \to 0$が存在し、この系列は高次のTor群の消失を誘導する。
• 本論文における反例により、強く$n$-Gorenstein平坦加群のなすクラスは、$n$-Gorenstein平坦加群のなすクラスよりも厳密に大きいことが示された。