[論文レビュー] Strongly nonlinear nature of interfacial-surfactant instability of Couette flow

Alexander Frenkel, David Halpern|ArXiv.org|Jan 12, 2006

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 32被引用数 13

ひとこと要約

本論文は、薄い膜層と厚い流体層を有するクーレット流れにおける界面・界面活性剤不安定性の強非線形ダイナミクスを調査する。膜厚と界面活性剤濃度の長波長発展方程式を結合した数値シミュレーションにより、線形項と非線形項の根本的矛盾により、剪切速度の大きさにかかわらず小振幅の飽和が発生しないことが示された。このため弱非線形理論は適用不能となり、任意に小さな剪切速度に対しても大振幅かつ非有界な摂動が生じる。

ABSTRACT

Nonlinear stages of the recently uncovered instability due to insoluble surfactant at the interface between two fluids are investigated for the case of a creeping plane Couette flow with one of the fluids a thin film and the other one a much thicker layer. Numerical simulation of strongly nonlinear longwave evolution equations which couple the film thickness and the surfactant concentration reveals that in contrast to all similar instabilities of surfactant-free flows, no amount of the interfacial shear rate can lead to a small-amplitude saturation of the instability. Thus, the flow is stable when the shear is zero, but with non-zero shear rates, no matter how small or large (while remaining below an upper limit set by the assumption of creeping flow), it will reach large deviations from the base values-- of the order of the latter or larger. It is conjectured that the time this evolution takes grows to infinity as the interfacial shear approaches zero. It is verified that the absence of small-amplitude saturation is not a singularity of the zero surface diffusivity of the interfacial surfactant.

研究の動機と目的

• 薄い膜層と厚い流体層を有するクーレット流れにおける界面・界面活性剤不安定性の非線形進化を調査すること。
• 界面剪切速度を変化させた場合でも、界面活性剤なしの流れで観察されるように、不安定性に小振幅の飽和が生じるかを特定すること。
• 界面活性剤表面拡散係数が不安定性の飽和を促進または抑制する役割を評価すること。
• この不安定性の長時間進化を記述する弱非線形理論が有効であるかを検証すること。
• 飽和の欠如が界面活性剤を含む粘性流れにおけるパターン形成および流れの安定性に与える影響を調査すること。

提案手法

• 潤滑近似を用いて膜厚と界面活性剤濃度の簡略化された結合長波動発展方程式系を導出すること。
• 大振幅ダイナミクスを捉えるために、拡張された空間領域における結合方程式の強非線形進化を数値的にシミュレートすること。
• 界面活性剤表面拡散係数（D）をモデルに組み込み、D = 0およびD = 0.1のシナリオを用いて飽和への影響をテストすること。
• 進化方程式における支配的バランスを検討するための漸近解析の適用。特に非線形項と曲率項に注目する。
• 弱非線形領域における小振幅飽和解の不可能性を示す、背理法に基づく議論の適用。
• 既知の界面活性剤なしの系と比較することで、界面活性剤を含む流れにおける特徴的な不安定性行動を強調すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 界面活性剤を含むクーレット流れの界面・界面活性剤不安定性は、任意の剪切速度（たとえ非常に小さな値であっても）で小振幅の飽和を示すか？
• RQ2 不溶性界面活性剤の存在は、界面活性剤なしの粘性膜流れと比較して、非線形的飽和機構をどのように変化させるか？
• RQ3 界面活性剤表面拡散係数は、不安定性の飽和を促進または抑制する役割を果たすか？
• RQ4 弱非線形理論は、この不安定性の長時間進化を記述できるか、それとも必然的に破綻するか？
• RQ5 界面活性剤拡散係数に、小振幅飽和が可能になる臨界閾値が存在するか？

主な発見

• 進化方程式における非線形項と線形項の根本的不適合性により、非ゼロの界面剪切速度が存在する限り、任意の大きさに対しても小振幅の飽和は発生しない。
• 背理法により、一般的な単一時間スケール条件下では、膜厚および界面活性剤濃度の小振幅飽和解は不可能であることが証明された。
• 数値的シミュレーションにより、非常に小さな剪切速度に対しても、膜厚および界面活性剤濃度の摂動が1次オーダーまたはそれ以上の振幅にまで成長することが確認された。
• 非ゼロの界面活性剤拡散係数（D = 0.1）を含めても、小振幅の飽和は誘発されず、不安定性は依然として大振幅に発展した。
• 飽和の欠如はゼロの表面拡散係数に起因するのではなく、進化方程式における項の競合的支配が原因となる構造的特徴である。
• 不安定性は本質的に強非線形的であり、弱非線形モデルは長時間ダイナミクスに対して有効ではない。したがって、強非線形方程式の完全な数値シミュレーションが不可欠である。