[論文レビュー] Strongly regular Cayley graphs from partitions of subdifference sets of the Singer difference sets

Koji Momihara, Qing Xiang|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Singer差分集合から導かれる部分差分集合の分割を用いて、有限体上の双曲型タイプの強正則カイリーグラフの新しいリフト構成を提示する。$m$-オーバーラップと$i$-タイト集合に関連する従来の構成を一般化することで、既存の結果を統一・簡略化し、パラメータが既知の家族（アフィン極座標グラフを含む）と一致する、新しいまたは非同型の強正則グラフを生成する。

ABSTRACT

In this paper, we give a new lifting construction of "hyperbolic" type of strongly regular Cayley graphs. Also we give new constructions of strongly regular Cayley graphs over the additive groups of finite fields based on partitions of subdifference sets of the Singer difference sets. Our results unify some recent constructions of strongly regular Cayley graphs related to $m$-ovoids and $i$-tight sets in finite geometry. Furthermore, some of the strongly regular Cayley graphs obtained in this paper are new or nonisomorphic to known strongly regular graphs with the same parameters.

研究の動機と目的

• 双曲型タイプの強正則カイリーグラフの新しいリフト構成を開発すること。
• 有限幾何学における$m$-オーバーラップおよび$i$-タイト集合に関連する最近の強正則カイリーグラフ構成を統一すること。
• Singer差分集合の部分差分集合を用いて、既存の構成のより簡単な証明を提供すること。
• 既知の家族（アフィン極座標グラフなど）と同一パラメータを持つ、新しいまたは非同型の強正則グラフを生成すること。

提案手法

• Singer差分集合の部分差分集合の一般化された分割を用いて、$\mathbb{F}_q$ から $\mathbb{F}_{q^m}$ への巡回的強正則グラフのリフトを行う。
• 有限体上でのガウス和の技法と指標和解析を適用し、強正則性の固有値条件を検証する。
• 部分体とトレース写像の構造を用いて部分差分集合を分割し、指標和を制御する。
• 巡回的クラス $C_t^{(N,q^m)}$ 及びその和集合の性質を活用し、カイリーグラフの接続集合を定義する。
• 得られたカイリーグラフが強正則性に必要な固有値および隣接行列条件を満たすことを検証する。
• 接続集合 $D$ の指標和が、2つの異なる制限付き固有値しか取り得ないことを証明し、強正則性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Singer差分集合の部分差分集合から、双曲型タイプの強正則カイリーグラフの新しいリフト構成を開発できるか？
• RQ2 $m$-オーバーラップおよび$i$-タイト集合に基づく構成を、Singer差分集合の部分差分集合の分割を用いてどのように統一・簡略化できるか？
• RQ3 新しい構成によって得られる強正則グラフは、同じパラメータを持つ既知のグラフとは非同型であるか？
• RQ4 ガウス和とトレース写像は、これらのカイリーグラフの固有値を特徴付ける上でどのような役割を果たすか？
• RQ5 $q$ と $m$ がどのような条件下で、得られるグラフがラテン・スクエア型またはネガティブ・ラテン・スクエア型のパラメータを達成するか？

主な発見

• 既存の楕円型構成を拡張する、双曲型タイプの強正則カイリーグラフの新しいリフト構成が確立された。
• $q \equiv 3 \pmod{4}$ かつ奇数 $m > 1$ の場合、$(q^{2m}, r(q^m+1), -q^m + r^2 + 3r, r^2 + r)$ の強正則カイリーグラフが存在し、$r = q^{m-1}(q-1)/2$ である。
• $q \equiv 1 \pmod{4}$ かつ奇数 $m > 1$ で $\gcd(q-1, (q^m-1)/(q-1)) = 1$ を満たす場合、$(q^{2m}, r(q^m-1), q^m + r^2 - 3r, r^2 - r)$ の強正則カイリーグラフが存在し、$r = q^{m-1}(q-1)/2$ である。
• $q=3$, $m=3$ の場合に構成されたグラフは、同じパラメータを持つアフィン極座標グラフ ${\mathrm{AP}}^{-}$ とは同型でない。自動同型群の位数の比較により確認された。
• $q=5$, $m=3$ の場合に構成されたグラフは、同じパラメータを持つアフィン極座標グラフ ${\mathrm{AP}}^{+}$ とは同型でない。再び、自動同型群の位数の差異により確認された。
• 本結果は、Singer差分集合の部分差分集合の分割を一般化することで、$m$-オーバーラップおよび$i$-タイト集合に関連する最近の構成を統一・簡略化した。