[論文レビュー] Strongly right alternative rings and Bol loops

Michael Kinyon, J. D. Phillips|ArXiv.org|Jul 30, 2005

Mathematics and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限な強右代数的環において、乗法に関する単元の集合と、円乗法に関する類正則元の集合の両方がボルループをなすことを証明している。主な結果は、有限性が単元および類正則元の集合がそれぞれの演算に関して閉じていることを保証することを示しており、非結合的環におけるこれらの集合のループ構造に関してグッドエアが提起した未解決問題に対する部分的解決を確認するとともに、既知の代数的環に関する結果を一般化している。

ABSTRACT

We partially answer two questions of Goodaire by showing that in a finite, strongly right alternative ring, the set of units (if the ring is with unity) is a Bol loop under ring multiplication, and the set of quasiregular elements is a Bol loop under "circle" multiplication.

研究の動機と目的

• グッドエアが強右代数的環における単元および類正則元のループ構造に関して提起した2つの未解決問題を解決すること。
• 有限な強右代数的環において、乗法に関する単元の集合がボルループをなすことの確立。
• このような環において、円乗法に関する類正則元の集合が同様にボルループをなすことの示唆。
• 新しいアプローチにより、代数的環における単元および類正則元の集合がムーファンループをなすという既知の結果を一般化すること。
• 有限性の仮定の下で、中立元をもつボルマグマにおける可逆元の集合の閉包を調査すること。

提案手法

• 有限なボルマグマに中立元があるとき、両側逆元をもつ元の集合が乗法に関して閉じており、ループをなすことの証明。
• 右ボル恒等式および右移動の性質を用いて、逆元の一意性および可逆集合上での右移動と左移動が全単射であることを示す。
• 有限性条件を適用して、右逆元をもつ元が必ず左逆元ももつこと、したがって可逆集合が閉じていることを保証する。
• フレキシブルなボルマグマの場合に、フレキシブル恒等式を活用して、可逆集合がムーファンループをなすことを示す。
• 円演算 $ x \circ y = x + y + x \cdot y $ を用いて類正則元を定義し、この演算におけるマグマ構造を分析する。
• 可逆集合の閉包およびループ構造に関する同様の議論を、類正則集合と円演算に関して適用し、有限な強右代数的環においてそれがボルループをなすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な単位元をもつ強右代数的環における単元の集合は、乗法に関してボルループをなすか？
• RQ2 有限な強右代数的環における類正則元の集合は、円演算に関してボルループをなすか？
• RQ3 ボルマグマに中立元があるとき、有限性の仮定のもとで可逆元の集合の閉包を保証できるか？
• RQ4 中立元をもつフレキシブルなボルマグマにおける可逆元の集合はムーファンループをなすか？
• RQ5 強右代数的環における結果を無限環へ拡張できるか、それとも有限性の仮定が本質的か？

主な発見

• 単位元をもつ有限な強右代数的環において、単元の集合 $ \mathcal{U}(R) $ は環の乗法に関してボルループをなす。
• 有限な強右代数的環において、類正則元の集合 $ \mathcal{Q}(R) $ は円演算 $ x \circ y = x + y + x \cdot y $ に関してボルループをなす。
• 有限なボルマグマに中立元があるとき、可逆元の集合 $ \mathcal{J}(L) $ は乗法に関して閉じており、ループをなす。
• フレキシブルなボルマグマに中立元があるとき、可逆元の集合 $ \mathcal{J}(L) $ はムーファンループをなす。
• 本論文は、代数的環において単元および類正則元がムーファンループをなすという事実を、ボルマグマの構造を用いた新しい証明を提供する。
• 有限性が、結合的でもフレキシブルでもないボルマグマにおける可逆集合の閉包を保証するのに十分であることを示している。