[論文レビュー] Structurable algebras and groups of type E_6 and E_7

Skip Garibaldi|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 56被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、56次元の構造的代数とE_6およびE_7型の群の間の構造的関係を確立し、例外的ジョルダン代数とF_4型の群の間の既知の関係を拡張する。この代数を用いて、ティーツ代数が自明なE_7群の同次的射影的多様体を明示的に記述し、例外的群とその幾何的実現を理解するための新しい代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

It is well-known that every algebraic group of type F_4 is the automorphism group of an exceptional Jordan algebra, and that up to isogeny all groups of type ^1E_6 with trivial Tits algebras arise as the isometry groups of norm forms of such Jordan algebras. We describe a similar relationship between groups of type E_6 and groups of type E_7 and use it to give explicit descriptions of the homogeneous projective varieties associated to groups of type E_7 with trivial Tits algebras. The underlying algebraic structure for the relationship considered here are a sort of 56-dimensional structurable algebra which are forms of an algebra constructed from an exceptional Jordan algebra.

研究の動機と目的

• 例外的ジョルダン代数とF_4型の群の間の既知の対応を、E_6型およびE_7型の群へ拡張すること。
• 例外的ジョルダン代数から導かれる代数の形として、56次元の構造的代数の新クラスを構成すること。
• ティーツ代数が自明なE_7群に関連する同次的射影的多様体を記述すること。
• 新規の構造的代数を用いて、これらの多様体の明示的な代数的および幾何的実現を提供すること。
• 共通の代数的構造を通じてE_6およびE_7群の記述を統一し、それらの同型類および幾何的作用の理解を深めること。

提案手法

• 例外的ジョルダン代数から導かれる代数の形として、56次元の構造的代数を構成する。
• 構造的代数の自己同型群を用いて、E_6型の群を実現する。
• ティーツ代数の理論と同型類の分類を用いて、ティーツ代数が自明なE_7群を分類する。
• 関連する構造的代数の構造を通じて、E_7群の射影的多様体への作用を分析する。
• 代数幾何学およびリー理論の技術を用いて、多様体の幾何を群作用による軌道として記述する。
• 任意の体上での例外的代数の形およびそれらに関連する群の分類に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造的代数は、どのようにE_6型およびE_7型の群を記述することができるか？
• RQ2 例外的群の文脈において、56次元の構造的代数の幾何的意義は何か？
• RQ3 ティーツ代数が自明なE_7型の群は、同次的射影的多様体にどのように作用するか？
• RQ4 構造的代数の自己同型群と、それに対応するE_6またはE_7型の群との関係は何か？
• RQ5 ティーツ代数が自明なE_7群の同次的多様体は、ジョルダン代数から導かれる代数的構造を用いて明示的に記述できるか？

主な発見

• 本稿は、例外的ジョルダン代数から導かれる代数の形として、56次元の構造的代数を構成し、E_6およびE_7群のための新しい代数的モデルを提供する。
• ティーツ代数が自明なE_6型の群は、これらの56次元の構造的代数の自己同型群として生じる。
• ティーツ代数が自明なE_7型の群に対して、関連する同次的射影的多様体は、構造的代数の射影空間への群作用の軌道として明示的に記述される。
• この構成は、F_4と例外的ジョルダン代数の間の既知の関係をE_6およびE_7へ一般化し、それらの代数的および幾何的構造を統一する。
• この手法により、任意の体上でE_7の同次的多様体が56次元の構造的代数の幾何に基づいて完全に記述される。
• 最終節では、多様体構造の記述に関する以前の誤りを是正し、新しい代数的枠組みを通じて正しい幾何的実現が確認された。