[論文レビュー] Structural model for the dynamic buckling of a column under constant rate compression

Vitaly A. Kuzkin|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2015

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 14被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、一定速度で圧縮される柱の動的座屈の1次元構造的モデルを提案し、質量-ばね系を用いて横座屈をシミュレートする。解析的に、臨界座屈力が圧縮速度に対して指数が約2/3のべき乗則に従って増加することを導出し、実験と数値シミュレーションによって検証され、古典的オイラー座屈荷重を超える観察された動的強度増幅を説明する。

ABSTRACT

Dynamic buckling behavior of a column (rod, beam) under constant rate compression is considered. The buckling is caused by prescribed motion of column ends toward each other with constant velocity. Simple model with one degree of freedom simulating static and dynamic buckling of a column is derived. In the case of small initial disturbances the model yields simple analytical dependencies between the main parameters of the problem: critical force, compression rate, and initial disturbance. It is shown that the time required for buckling is inversely proportional to cubic root of compression velocity and logarithmically depends on the initial disturbance. Analytical expression for critical buckling force as a function of compression velocity is derived. It is shown that in a range of compression rates typical for laboratory experiments the dependence is accurately approximated by a power law with exponent close to 2/3. Theoretical findings are supported by available results of laboratory experiments. Keywords: dynamic buckling, Hoff problem, column, Airy equation, Euler force.

研究の動機と目的

• 一定速度で圧縮される柱における動的座屈の本質的物理を捉える簡略化された1次元モデルの開発。
• 圧縮速度および初期不整の関数としての臨界座屈力と座屈までの時間の依存関係を解析的に特定すること。
• 実験的に観察された臨界力と圧縮速度の間のべき乗則的依存関係、特に指数が約2/3に近い理由を理論的説明すること。
• 正確な非線形方程式の数値解と利用可能な実験データに対して、解析的モデルの妥当性を検証すること。

提案手法

• 軸方向および横方向の剛性を有する線形ばねで結ばれた点質量が、一定速度vで近づく2つの壁に接続された系が、柱の挙動をモデル化する。
• 系のポテンシャルエネルギーには、軸方向ばね（剛性cL）と横方向ばね（剛性cT）が含まれ、平衡状態はx=0で安定しているが、臨界半距離aEに達すると不安定化が発生する。
• 時間に依存する壁間隔a(t) = aE - vtを考慮した横方向変位x(t)の運動方程式が導出され、初期変位x0が時間−tEに与えられる。
• 得られた非線形微分方程式に対する漸近解析により、座屈までの時間と臨界力の解析的表現が得られ、不安定な力学を記述するためのシュレーディンガー型方程式の解としてAiry関数が用いられる。
• 臨界力は圧縮速度v、初期変位x0、幾何的パrameterの関数として表現され、主な結果として、x0が小さい場合にはF* ∝ v^(2/3)というべき乗則的依存関係が得られる。
• Verletシンプレクティック積分法を用いた数値解法と、油圧試験機からの実験データと比較することで、モデルの妥当性が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一定速度圧縮下における柱の臨界座屈力は、圧縮速度および初期幾何的不整にどのように依存するか？
• RQ2 実験的に観察される臨界力が古典的オイラー座屈荷重よりも顕著に高いのはなぜか？指数が約2/3のべき乗則的依存関係はどのように説明できるか？
• RQ3 座屈までの時間が圧縮速度の立方根に反比例する物理的メカニズムは何か？
• RQ4 単一自由度の簡易モデルが、実際の柱の動的座屈挙動をどの程度正確に捉えられるか？

主な発見

• 動的座屈に要する時間は、圧縮速度の立方根に反比例し、初期摂動に対しても対数的依存性を示す。
• 不安定な直線状態から安定な座屈状態への遷移に有限の時間がかかるため、低速圧縮時でも臨界座屈力はオイラー臨界力を超える。
• 初期摂動が小さい場合、臨界力は圧縮速度に対してべき乗則F* ∝ v^(2/3)に従い、実験的観察と一致する。
• 解析的モデルは、広い圧縮速度範囲および初期不整の範囲において臨界力を正確に予測でき、数値シミュレーションおよび実験データと良好に一致する。
• 臨界力の導出式には、長さ厚さ比および初期たわみの弱い依存性が含まれるが、初期摂動が小さい極限では支配的スケーリングはF* ∝ v^(2/3)のまま維持される。
• 解析的近似の有効性を保証する条件が導出され、臨界変形および初期たわみに依存する閾値を超える圧縮速度が要求される。