[論文レビュー] Structural Resolution: a Framework for Coinductive Proof Search and Proof Construction in Horn Clause Logic

Ekaterina Komendantskaya, Patricia Johann+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 16被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、無限導出における生産性を保証する、 Horn節論理における余帰納的証明探索および構成のための新しい枠組み「構造的分解」を導入する。書き換え還元の終了を優先するように分解を再定義することにより、無限的で合理的かつ非合理的な生産的項の整合的かつ観察可能な推論を可能にする。これは、論理プログラミングとインタラクティブ定理証明および項書き換え系における余帰納的メソッドを結ぶものである。

ABSTRACT

Logic programming (LP) is a programming language based on first-order Horn clause logic that uses SLD-resolution as a semi-decision procedure. Finite SLD-computations are inductively sound and complete with respect to least Herbrand models of logic programs. Dually, the corecursive approach to SLD-resolution views infinite SLD-computations as successively approximating infinite terms contained in programs' greatest complete Herbrand models. State-of-the-art algorithms implementing corecursion in LP are based on loop detection. However, such algorithms support inference of logical entailment only for rational terms, and they do not account for the important property of productivity in infinite SLD-computations. Loop detection thus lags behind coinductive methods in interactive theorem proving (ITP) and term-rewriting systems (TRS). Structural resolution is a newly proposed alternative to SLD-resolution that makes it possible to define and semi-decide a notion of productivity appropriate to LP. In this paper, we prove soundness of structural resolution relative to Herbrand model semantics for productive inductive, coinductive, and mixed inductive-coinductive logic programs. We introduce two algorithms that support coinductive proof search for infinite productive terms. One algorithm combines the method of loop detection with productive structural resolution, thus guaranteeing productivity of coinductive proofs for infinite rational terms. The other allows to make lazy sound observations of fragments of infinite irrational productive terms. This puts coinductive methods in LP on par with productivity-based observational approaches to coinduction in ITP and TRS.

研究の動機と目的

• 既存の余帰納的論理プログラミング手法がループ検出に依存しており、無限導出における生産性を保証できないという制限に対処すること。
• 帰納的・余帰納的および混合帰納的・余帰納的プログラムに対して、計算的に整合的かつ意味論的に完全な余帰納的証明探索の枠組みを提供すること。この枠組みは、合理的および非合理的な生産的無限項を両方サポートする。
• 論理プログラミングにおける余帰納的推論を、インタラクティブ定理証明および項書き換え系で用いられる観察的生産性の原則と一致させること。
• 論理プログラミングにおける生産性と項書き換え系における還元の終了との間の形式的関係を確立し、TRS研究と相互に恩恵を及ぼすことを可能にすること。
• 観察可能な有限近似に基づく余帰納的証明原理を導入することで、インタラクティブ定理証明および型理論を支援すること。

提案手法

• 生産性を保証するために書き換え還元の終了を重視する新しい分解戦略「構造的分解」を提案し、SLD分解を置き換える。
• 書き換え還元の終了に基づく観察的生産性の概念を定義し、無限導出が観察可能な有限断片を生成することを保証する。
• 2つのアルゴリズムを導入する：1つはループ検出と生産的構造的分解を組み合わせて合理的な無限項を扱うもので、もう1つは非合理的な生産的項の断片を遅延的にかつ整合的に観察するものである。
• 帰納的・余帰納的・混合帰納的・余帰納的プログラムにおけるHerbrandモデル意味論に関して、構造的分解の整合性を確立する。
• 無限導出をモデル化し、生産的余帰納的推論の操作的意味論を形式化するために、項木と書き換え木を用いる。
• 余代数的および双代数的基盤を活用し、構造的分解を既存の余帰納的および代数的意味論と論理プログラミングで結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Horn節論理における余帰納的証明探索は、どのようにして生産的であるように設計すべきか。すなわち、無限導出が観察可能な有限断片を生成することを保証するか。
• RQ2 帰納的・余帰納的および混合帰納的・余帰納的プログラムを対象とし、合理的および非合理的な無限項を両方サポートする計算的に整合的かつ意味論的に完全な操作的意味論とは何か。
• RQ3 書き換え還元の終了を保証するように構造的分解をどのように定義すれば、無限導出における生産性を保証できるか。
• RQ4 構造的分解は、インタラクティブ定理証明および項書き換え系における論理プログラミングと観察的余帰納的推論の間の溝をどのように埋めるか。
• RQ5 論理プログラミングにおける生産性と項書き換え系における還元の終了との間の関係をどのように形式化し、推論に活用できるか。

主な発見

• 構造的分解は、帰納的・余帰納的・混合帰納的・余帰納的論理プログラムに関して、Herbrandモデル意味論と整合的である。
• この枠組みにより、無限的で生産的な項（合理的および非合理的を含む）の論理的含意の半決定が可能になる。
• 提案されたアルゴリズムは、余帰納的証明における生産性を保証する：1つはループ検出を用いた合理的な項のためのもので、もう1つは非合理的な生産的項の断片を遅延的にかつ整合的に観察するためのものである。
• 構造的分解における生産性は、書き換え還元の終了に基づいて定義され、論理プログラミングにおける余帰納的推論と項書き換え系における終了の文献と結びつく。
• 本手法は、ガardedコリカーシブやクロック付きコリカーシブのスタイルを含む、I TPおよびTRSにおける観察的生産性と整合する。
• 本研究は、統一的で生産性に配慮した枠組みを通じて、型推論および余帰納的推論をより洗練されたプログラミング言語機能へと拡張する新たな道を開く。