[論文レビュー] Structural stability of the transonic shock problem in a divergent three dimensional axisymmetric perturbed nozzle

Shangkun Weng, Chunjing Xie+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、流入超音流、ノズル境界、出口圧力の摂動に対して、3次元軸対称発散ノズル内の回転速度を有する流れにおける超音速衝撃波の構造的安定性を確立する。著者らは、流れ線をまっすぐにする可逆なラグランジュ変換を導入し、エーラー系を非局所項と未知の衝撃波前線を含む2階の楕円型方程式に還元することで、一般の摂動のもとでの解の存在と正則性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we prove the structural stability of the transonic shocks for three dimensional axisymmetric Euler system with swirl velocity under the perturbations for the incoming supersonic flow, the nozzle boundary, and the exit pressure. Compared with the known results on the stability of transonic shocks, one of the major difficulties for the axisymmetric flows with swirls is that corner singularities near the intersection point of the shock surface and nozzle boundary and the artificial singularity near the axis appear simultaneously. One of the key points in the analysis for this paper is the introduction of an invertible Lagrangian transformation which can straighten the streamlines in the whole nozzle and help to represent the solutions of transport equations explicitly.

研究の動機と目的

• 流入超音流、ノズル形状、出口圧力の摂動に対して、3次元軸対称ノズル内の超音速衝撃波の構造的安定性を確立すること。
• 衝撃波-ノズル境界の交差部におけるコーナー特異性と、軸近傍の人工的特異性が同時に存在する状況を扱うこと。
• 超音速衝撃波を伴うエーラー系における放物型的および楕円型的挙動の複雑な相互作用を扱える堅牢な解析的枠組みを構築すること。
• ポテンシャル流れおよび非回転軸対称流れにおける構造的安定性理論を、より一般の回転速度を有する場合にまで拡張すること。

提案手法

• ノズル全域で流れ線をまっすぐにする可逆なラグランジュ変換を導入し、輸送方程式の明示的表現を可能にする。
• 回転を伴う定常3次元軸対称エーラー系を、非局所項と未知の衝撃波前線パラメータを含む2階の楕円型方程式に変換する。
• 特徴線法を用いて方位速度成分 $ U_3 $ の輸送方程式を解き、一意性と正則性を保証する。
• 偶関数拡張技術を用いて、衝撃波がノズル壁と交差するコーナー部で $ C^{2,eta} $ 正則性を達成する。
• エネルギー推定と重み付きノルムを用いて、軸および衝撃波境界交差部に由来する特異性を制御する。
• 方程式の構造を活用し、流入、ノズル形状、出口圧力の摂動が、衝撃波および流れ場に対して $ C^{2,eta} $ スムーズな摂動を引き起こすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元軸対称発散ノズルに回転速度を有する超音速衝撃波は、流入超音流、ノズル境界、出口圧力の摂動に対しても構造的安定性を保つのか？
• RQ2 衝撃波-壁交差部におけるコーナー特異性と軸上特異性の併存効果を、回転を伴う超音速流れの解析でどのように制御できるか？
• RQ3 3次元軸対称ノズルに回転速度を有する場合に、流れ線を全域でまっすぐにするラグランジュ変換を構成可能か？ これにより、解の明示的表現が可能になるか？
• RQ4 問題データの小さな摂動に対して、衝撃波前線および流れ変数の正則性特性はどのように保たれるか？
• RQ5 回転を伴う場合においても、非回転の場合と同様に、超音速衝撃波の構造的安定性は一般の摂動に対してロバストであるか？

主な発見

• 3次元軸対称発散ノズルに回転速度を有する超音速衝撃波は、流入超音流、ノズル境界、出口圧力の小さな摂動に対しても構造的安定性を保つ。
• 可逆なラグランジュ変換の導入により、流れ線がまっすぐにされ、特に $ U_3 $ に対する輸送方程式の解の明示的表現が可能となった。
• 摂動問題の解は、コーナー特異性および軸特異性が存在する状況においても、衝撃波およびノズル境界にまで $ C^{2,eta} $ 正則性を維持する。
• 衝撃波前線および流れ変数は、問題データの摂動に対して滑らかに依存し、小さな変化に対して衝撃波の位置と強度が連続的に調整される。
• 回転に起因する項 $ U_3^2 $ が、構造的安定性フレームワークを破壊しない低次の誤差項として扱えることが分析で確認された。
• コーナー部の解の正則性は、修正された偶関数拡張法により確立され、衝撃波-壁交差部の近傍で $ C^{2,eta} $ スムーズ性が保証された。