[論文レビュー] Structural Tractability of Counting of Solutions to Conjunctive Queries

Arnaud Durand, Stefan Mengel|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2013

Algorithms and Data Compression参考文献 21被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、結合的問い合わせ（CQ）の解の数え上げが tractable であるための構造的パラメータとして、量化されたスターサイズを導入する。一般化されたハイパーターリング幅または木幅が有界であるCQのクラスに対して、解の数え上げが tractable であるための必要十分条件として、量化されたスターサイズが有界であることであることを証明しており、これは、非巡回的クエリを超えた tractable な数え上げの明確な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

In this paper we explore the problem of counting solutions to conjunctive queries. We consider a parameter called the \emph{quantified star size} of a formula $φ$ which measures how the free variables are spread in $φ$. We show that for conjunctive queries that admit nice decomposition properties (such as being of bounded treewidth or generalized hypertree width) bounded quantified star size exactly characterizes the classes of queries for which counting the number of solutions is tractable. This also allows us to fully characterize the conjunctive queries for which counting the solutions is tractable in the case of bounded arity. To illustrate the applicability of our results, we also show that computing the quantified star size of a formula is possible in time $n^{O(k)}$ for queries of generalized hypertree width $k$. Furthermore, quantified star size is even fixed parameter tractable parameterized by some other width measures, while it is $\W{1}$-hard for generalized hypertree width and thus unlikely to be fixed parameter tractable. We finally show how to compute an approximation of quantified star size in polynomial time where the approximation ratio depends on the width of the input.

研究の動機と目的

• 結合的問い合わせの解の数え上げが tractable である構造的条件を同定し、従来の非巡回的クエリから一般のCQへと結果を拡張すること。
• 一般の結合的問い合わせに対して、量化されたスターサイズの概念を定義・形式化し、クエリ構造における自由変数の広がりを測定すること。
• 一般化されたハイパーターリング幅または木幅が有界である場合に、有界な量化されたスターサイズが、数え上げの tractable クラスを正確に特徴付けること。
• 量化されたスターサイズを計算または近似するための効率的アルゴリズムを提供し、そのパラメータ付き複雑性を分析すること。
• QCSP や選言的クエリなどのより広範な論理拡張への影響を検討し、今後の研究の方向性を示唆すること。

提案手法

• ハイパーグラフ分解と分数ハイパーターリングカバーを用いて、非巡回的クエリから任意の結合的クエリへの量化されたスターサイズの概念を一般化する。
• 自由変数が誘導する部分ハイパーグラフにおける独立集合の最大サイズとして、量化されたスターサイズを定義する。ただし、分数ハイパーターリング分解の下で定義する。
• 幅 $k$ の分数ハイパーターリング分解を用いて、量化されたスターサイズを有界化し、解の数え上げの複雑性と関連付ける。
• 元のクエリ $ abla$ から、変数の依存関係をモデル化する制約を追加して変換クエリ $ abla'$ を構築し、解の同値性を保持する。
• 分数ハイパーターリング分解上で動的計画法を適用し、最大独立集合（すなわち、量化されたスターサイズ）を時間 $|\mathcal{H}|^{k^{O(1)}}$ で計算する。
• 既知の分数ハイパーターリング幅と解列挙に関する結果を活用し、幅依存の近似比を有する、量化されたスターサイズの近似アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非巡回的ケースを超えて、結合的問い合わせの解の数え上げが tractable であることを特徴付ける構造的パラメータは何か？
• RQ2 数え上げ複雑性の文脈において、一般化されたハイパーターリング幅や木幅といった既知の幅測度と、量化されたスターサイズはどのように関係するか？
• RQ3 量化されたスターサイズは効率的に計算可能か？ また、さまざまな幅測度に関して、そのパラメータ付き複雑性は何か？
• RQ4 論理的拡張（選言や全称量化子を含むクエリなど）に対して、数え上げの tractability はどの程度拡張可能か？
• RQ5 QCSP などのCQの拡張において、意思決定の tractability と数え上げの tractability の間にきつい関係があるか？

主な発見

• 解の数え上げが tractable（多項式時間内に可能）であるのは、$\mathbf{FPT} \neq \mathbf{\#W[1]}$ を仮定すれば、量化されたスターサイズが有界である場合に限る。
• 一般化されたハイパーターリング幅 $k$ が有界なクエリに対しては、量化されたスターサイズの計算が時間 $n^{O(k)}$ で可能であり、$k$ をパラメータとして固定パラメータ付き tractable である。
• 一般化されたハイパーターリング幅をパラメータとして量化されたスターサイズは $\mathbf{W[1]}$-hard であるため、標準の複雑性仮定のもとでは固定パラメータ付き tractable であるとは考えにくい。
• 量化されたスターサイズの近似は多項式時間で計算可能であり、近似比は入力クエリの幅に依存する。
• 変換クエリ $\nabla'$ に対して幅 $k'$ の分数ハイパーターリング分解を構築することで、幅が定数倍以内に保たれることを保証し、効率的な数え上げが可能になる。
• 分数ハイパーターリング幅 $k$ のハイパーグラフにおける最大独立集合は、分解上で動的計画法を適用することで時間 $|\mathcal{H}|^{k^{O(1)}}$ で計算可能である。