[論文レビュー] Structure and regularity for subsets of groups with finite VC-dimension

Gabriel Conant, Anthony L. Pillay+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2018

Advanced Topology and Set Theory参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有界VC次元をもつ部分集合をもつ有限群に対して、算術的正則性補題を確立し、このような集合が小さな誤差の範囲で代数的構造——有界指数の正規部分群またはボール近傍——によって近似可能であることを示している。モデル理論的技法、特に擬有限コンパクト化およびリー群の逆極限を用いて、著者たちは、このような集合の構造が非常に正則的かつ代数的に良好に従うものであることを証明した。これはグリーンの算術的正則性補題をアーベル群から非アーベル群へ一般化し、強い一様性と定量的境界をもつものである。

ABSTRACT

Suppose $G$ is a finite group and $A\subseteq G$ is such that $\{gA:g\in G\}$ has VC-dimension strictly less than $k$. We find algebraically well-structured sets in $G$ which, up to a chosen $ε>0$, describe the structure of $A$ and behave regularly with respect to translates of $A$. For the subclass of groups with uniformly fixed finite exponent $r$, these algebraic objects are normal subgroups with index bounded in terms of $k$, $r$, and $ε$. For arbitrary groups, we use Bohr neighborhoods of bounded rank and width inside normal subgroups of bounded index. Our proofs are largely model theoretic, and heavily rely on a structural analysis of compactifications of pseudofinite groups as inverse limits of Lie groups. The introduction of Bohr neighborhoods into the nonabelian setting uses model theoretic methods related to the work of Breuillard, Green, and Tao and Hrushovski on approximate groups, as well as a result of Alekseev, Glebskii, and Gordon on approximate homomorphisms.

研究の動機と目的

• アーベル群から任意の有限群へ、グリーンの算術的正則性補題を、有限VC次元の条件下で拡張すること。
• 有界VC次元をもつ有限群の部分集合を近似する代数的構造（正規部分群またはボール近傍）を同定すること。
• VC次元、群の指数、誤差許容度の観点から、これらの近似構造の指数に対する一様かつ定量的な境界を確立すること。
• 組合せ的正則性とモデル理論的手法を統合し、特に擬有限群およびそのコンパクト化を通じて統合すること。
• 近似群の構造理論およびキーゼル測度を用いて、アーベルから非アーベルな設定へ一般化すること。

提案手法

• 特に擬有限群およびそのコンパクト化（リー群の逆極限としての表現）の理論を用いたモデル理論的技法を用いる。
• 飽和モデルにおける定義可能集合を分析するために、キーゼル測度およびfsg（有限に満たされる一般的元）の概念を適用する。
• コンパクトな $p$-進解析的群における開正規部分群の定義可能性を用いて、擬有限設定からの結果を有限商群へと移行する。
• ブロイリャード、グリーン、タオの近似群に関する研究およびハルシュフスキーの安定群に関する研究を活用し、有限VC次元をもつ集合の構造を分析する。
• 有界ランクおよび有界幅のボール近傍を、有界指数の正規部分群内に用いることで、非アーベル群における正則性を捉える。
• アレクセエフ、グレブスキー、ゴードンによる近似準同型に関する結果を用いて、集合 $A$ の平行移動の振る舞いを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $A$ が有限VC次元をもつとき、算術的正則性はアーベル群から非アーベル有限群へ拡張可能か？
• RQ2 一様に近似可能な代数的構造（例：部分群またはボール近傍）は何か、有限群の部分集合 $A$ に対して有界VC次元をもつ場合に？
• RQ3 擬有限性およびコンパクト化といったモデル理論的道具を用いて、算術的組合せ論における定量的正則性結果をどのように導出できるか？
• RQ4 VC次元、群の指数、誤差許容度の観点から、近似構造の指数に対する一様な境界は何か？
• RQ5 $p$-進解析的群に関する結果は、定義可能性および型空間を用いて、その有限商群へ持ち上げ可能か？

主な発見

• 指数 $r$ が一様に有界な有限群に対して、近似代数的対象は $k$、$r$、$\\/epsilon$ の関数として有界な指数の正規部分群である。
• 任意の有限群に対して、近似構造は有界ランクおよび有界幅のボール近傍であり、有界指数の正規部分群内に存在する。
• 集合 $A$ は、密度が $\epsilon$ 未満の集合を除き、近似部分群の陪集合の和集合によって近似可能である。
• 正則性条件が成り立つ：任意の平行移動 $gH$ に対して、$gH \cap A = \emptyset$ または $gH \subseteq A$ が誤差集合を除いて成り立つ。
• 証明は、リー群の逆極限として実現される群の擬有限コンパクト化および一意な左不変キーゼル測度の存在に依存する。
• 主な結果は、型理論的コンパクトネスの議論により確立され、型空間における飽和性および集積点を用いて、一様境界の不成立から矛盾を導出する。