[論文レビュー] Structure and regularity of the global attractor of a reaction-di{\S}usion equation with non-smooth nonlinear term

Oleksiy V. Kapustyan, Pavlo O. Kasyanov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、解の一意性が保証されない非滑らかで単調でない非線形項を有する反応拡散方程式のグローバルアトラクターの構造を確立する。マルチバリュー・セミフロー理論を用いて、アトラクターが均衡解の集合の不安定多様体に一致すること、あるいは有界な完全軌道に制限した安定多様体に一致することを証明し、古典的結果を一意性のない場合にまで拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study the structure of the global attractor for a reaction- di{\S}usion equation in which uniqueness of the Cauchy problem is not guarantied. We prove that the global attractor can be characterized using either the unstable manifold of the set of stationary points or the stable one but considering in this last case only solutions in the set of bounded complete trajectories.

研究の動機と目的

• 解の一意性が保証されない非滑らかで非単調な非線形項を有する反応拡散方程式のグローバルアトラクターを特徴づけること。
• 従来、解の一意性または単調性の下で成立していたアトラクター構造の古典的結果を、マルチバリュー・セミフロー設定にまで拡張すること。
• グローバルアトラクターが均衡解の集合の不安定多様体に一致すること、あるいは代替的に有界な完全軌道に制限した安定多様体に一致することを確立すること。
• 弱解、正則解、強解の異なる解の種別に対して、L²(Ω)およびH¹₀(Ω)位相空間におけるアトラクターの不変性およびコンパクト性を証明すること。

提案手法

• 多項式成長および散逸的条件を満たす非滑らか非線形項f(u)を有する反応拡散方程式を形式化する。
• 弱解、正則解、強解を定義し、それぞれL²(Ω)およびH¹₀(Ω)上にマルチバリュー・セミフローG、Gr、Gsを構成する。
• エネルギー推定およびコンパクト性の議論（例えば、Aubin-Lionsの補題を用いて）を用いて、コンパクトな吸引集合の存在およびセミフローの上半連続性を証明する。
• マルチバリュー・セミフローのグローバルアトラクター理論を適用し、特にアトラクターが有界な完全軌道の閉包として特徴づけられることを活用する。
• 均衡解集合Rの不安定多様体M₊(R)および制限された安定多様体M₋(R)を導入する。
• 適切な解クラスの下で、アトラクター、有界な完全軌道、および不安定・安定多様体の間の同値性を示すことにより、アトラクターがM₊(R)またはM₋(R)に一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解の一意性が成立しない非滑らか非線形項を有する反応拡散方程式のグローバルアトラクターは、均衡解の不安定多様体または安定多様体として特徴づけられるか？
• RQ2 解の一意性が欠如する状況下でも、アトラクターは均衡解集合の不安定多様体に一致するか？
• RQ3 有界な完全軌道に制限した場合、アトラクターは均衡解の安定多様体に等価か？
• RQ4 弱解、正則解、強解が生成するアトラクターは、H¹₀(Ω)位相空間で一致するか？
• RQ5 マルチバリュー・セミフロー枠組みにおいて、アトラクターの構造は、すべての有界な完全軌道の集合とどのように関係するか？

主な発見

• 強解セミフローのグローバルアトラクターΘsは、均衡解集合Rの不安定多様体M₊(R)に一致する。
• 有界な完全軌道に制限した場合、アトラクターΘsは安定多様体M₋(R)にも一致する。
• アトラクターΘsはH¹₀(Ω)でコンパクトであり、セミフローGsに関して不変である。
• 正則解セミフローGrが生成するアトラクターは、強解セミフローGsが生成するアトラクターに一致する。すなわちΘr = Θsである。
• アトラクターはM₋(R)の閉包として特徴づけられ、またすべての有界な完全軌道上にある点の集合としても特徴づけられる。
• アトラクターは最小であり、L²(Ω)およびH¹₀(Ω)の位相において、すべての有界集合を吸引する。