[論文レビュー] Structure and Semantics

Thomas Charles Avery|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Lawvere理論、モノイド、オペラッドなどの構造を一般化する枠組みとしてプロト理論を導入する。アリティを用いた構造–意味論の随伴関手を確立し、完全な位相的プロト理論をモノイドの一般化として、意味論が全かつ忠実であるものとして特定し、群論におけるプロフィニート群に類似した完全性定理を達成する。

ABSTRACT

There are many category-theoretic notions of algebraic theory, including Lawvere theories, monads, PROPs and operads. The first central notion of this thesis is a common generalisation of these, which we call a proto-theory. In order to define models of a proto-theory in a category, we need a way of relating the arities of the proto-theory with the objects of the category. This leads to our second central notion, that of an interpretation of arities, or aritation for short. We show that every aritation gives rise to a semantics functor sending proto-theories to models. In fact this functor always has an adjoint, giving a structure-semantics adjunction. Furthermore, we show that the semantics of proto-theories generalises the classical semantics of many existing notions of algebraic theory. Another aim of this thesis is to find a convenient category of monads in the following sense. Every right adjoint gives rise to a monad on its codomain, and more generally so does any functor that admits a codensity monad. However, not all functors have codensity monads. This means that the semantics functor for monads on a category, viewed as a functor into the category of all functors into the base category, does not have a left adjoint. We seek a generalisation of monads with a semantics functor that does have a left adjoint. This can be accomplished with proto-theories, but at a cost. The classical semantics functor for monads is full and faithful; this is a kind of completeness theorem, and is highly desirable in a notion of algebraic theory. However, the semantics functor for general proto-theories is not full and faithful. Thus we seek a generalisation of monads and their semantics for which the semantics functor is both full and faithful and has a left adjoint. We show that such a generalisation is given, for suitable base categories, by a certain kind of topological proto-theory.

研究の動機と目的

• Lawvere理論、モノイド、PROP、オペラッドなどの多様な代数的理論の概念を、プロト理論を用いて一つの枠組みに統合すること。
• 意味論関手が全かつ忠実である一般化を構築することで、モノイドの限界を克服し、理論からモデルへの情報損失を防ぐこと。
• アリティ（アリティゼーション）を用いて、プロト理論の意味論関手を定義する構造–意味論随伴関手を確立すること。
• 完全な位相的プロト理論というクラスの特徴付けを行い、モノイドを一般化しつつ、意味論の全忠実性といった望ましい性質を保持すること。
• プロト理論と群との類似性を示し、完全な位相的プロト理論がプロフィニート群に対応するのに対し、モノイドが有限群に対応することを明らかにすること。

提案手法

• 既存の代数的理論の共通一般化としてプロト理論を定義し、圏的枠組み内で演算と方程式を捉えること。
• アリティ（アリティゼーション）を導入し、理論の演算とベースカテゴリの対象を結ぶ構造とすることで、意味論関手の定義を可能にすること。
• アリティ付きのプロト理論の圏から意味論関手を構成し、それが左随伴関手（構造関手）を持つことを示し、構造–意味論随伴関手を形成すること。
• モノイド、Lawvere理論、その他の変種の標準的意味論が、適切なアリティの選択から導かれるようにすること。
• 完全な位相的プロト理論を、位相的プロト理論のフルな部分圏として定義し、反射的埋め込みとべき等的構造–意味論モノイドによって特徴付けること。
• 位相的豊富性とコデニシティモノイドを用い、意味論関手が全かつ忠実であることを保証し、プロフィニート群の特徴付けに類似した完全性結果を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイド、Lawvere理論、オペラッドなどの多様な代数的理論の概念を統合する単一の枠組みが可能か？
• RQ2 意味論関手が全かつ忠実であるようなモノイドの一般化は存在するか？ これにより、モデル構成時に情報が失われないことが保証されるか？
• RQ3 アリティとプロト理論を用いて、モノイドを超えた構造–意味論随伴関手をどのように一般化できるか？
• RQ4 どのような位相的および圏論的条件が、構造–意味論モノイドがべき等的になるかを保証し、完全な位相的プロト理論の反射的部分圏を可能にするか？
• RQ5 完全な位相的プロト理論は、プロフィニート群の特徴付け（例：コデニシティモノイドの代数や、ホム空間の位相的性質）に類似した特徴付けを受けるか？

主な発見

• アリティを用いたプロト理論の構造–意味論随伴関手が確立され、既知のすべての代数的理論のバリエーションの意味論関手を一般化する。
• 一般のプロト理論における意味論関手は全かつ忠実ではないが、完全な位相的プロト理論の部分圏ではこの性質が回復される。
• 完全な位相的プロト理論は、位相的プロト理論の反射的部分圏をなしており、構造–意味論随伴関手によって生成されるべき等的モノイドに対応する。
• 位相的プロト理論上の構造–意味論モノイドは、適切なベースカテゴリの条件下で、モノイドから位相的プロト理論への埋め込みのコデニシティモノイドとして特定される。
• 完全な位相的プロト理論の圏は、モノイドからプロト理論への埋め込み関手のコデニシティモノイドの代数の圏として特徴付けられる可能性があると予想されるが、未解決のままである。
• 完全な位相的プロト理論のコンパクトかつハウスドルフ的で完全に不連結なホム空間による位相的特徴付けは、一般には誤りであることが示され、代替的な位相的条件の必要性が示唆される。