[論文レビュー] Structure of $A(\infty)$-algebra and Hochschild and Harrison cohomology

Tornike Kadeishvili|ArXiv.org|Oct 21, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、微分代数のホモロジー上の $A(∞)$-代数構造の退化性と、Hochschild および Harrison コホモロジーの消滅との間の明確な関係を確立する。Hochschild コホモロジー $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C)) = 0$ が $n \geq 3$ に対して成り立つならば、$H(C)$ 上のすべての $A(\infty)$-構造は自明であることを証明し、同様に Harrison コホモロジーを用いて可換 $A(\infty)$-構造に対しても同様の結果を得る。これは、有理ホモトピー論および変形理論における非自明な高次作用素の存在に対するコホモロジー的障害を提供する。

ABSTRACT

Stasheff's $A(\infty)$-algebra $(M,\{m_i:\otimes^iM o M, i=1,2,3,...\})$ in fact is a DG-algebra $(M,m_1,m_2)$ with not necessarily associative product $m_2$ but this nonassociativity is measured by higher homotopies $m_{i>2}$. Nevertheless such structure arises in the strictly associative situation too, namely in the homology algebra $H(C)$ of a DG-algebra $C$ with free $H_i(C)$-s, particularly in the cohomology algebra $H^*(X,Λ)$ of a topological space $X$. It is clear that the $A(\infty)$-algebra $(H^*(X,Λ),\{m_i\})$ carries more information than the cohomology algebra $H^*(B,Λ)$. Naturally arises a question when this structure is degenerate, that is when an $A(\infty)$-algebra $(M, \{m_i\})$ is isomorphic to one with higher operations $m_i, i\geq 3$ trivial? In this paper we introduce the obstructions for such degeneracy. Namely, operations $\{m_i\}$ we interpret as Hochschild twisting cochain $m=m_3+m_4+..., m_i\in C^n(M,M)$ satisfying $δm=m\smile_1m$ where $\smile_1$ is Gerstenhabers product in $C^*(M,M)$. Using the generalized product $f\smile_1(g_1,...,g_k)$ we define perturbations of Hochschild twisting cochains (i.e. of $A(\infty)$ structures) and in particular prove that if for a graded algebra $(M,μ)$ all Hochschild cohomologies $Hoch^{n,2-n}(M,M)=0$ for $n\geq3$ then any $A(\infty)$-algebra structure $\{m_i\}$ on $M$ with $m_1=0, m_2=μ$, is degenerate.

研究の動機と目的

• 微分代数のホモロジー上の $A(\infty)$-代数構造が自明（すなわち、すべての高次作用素 $m_i$（$i \geq 3$）が消える）となる条件を特定すること。
• ホモロジー代数の Hochschild コホモロジーを用いた、$A(\infty)$-構造の自明性に関するコホモロジー的基準を確立すること。
• 可換 $A(\infty)$-代数に対しては Harrison コホモロジーを用いて、この基準を可換の場合に拡張すること。
• コホモロジー代数を通じて、$A(\infty)$-構造と空間の有理ホモトピー型との関係を明確にすること。

提案手法

• $A(\infty)$-構造を、$\delta m = m \smile_1 m$ を満たす Hochschild コチェイン複体の要素として解釈するため、ねじれチェイン形式を用いる。
• $m_1 = 0$ かつ $m_2$ が固定された $A(\infty)$-代数の圏 $A^0(\infty)$ を定義し、そのような構造の同値類と $Tw(M,M)$ 内のねじれチェインとの間の全単射を確立する。
• Bar 構成 $\tilde{B}(M,\{m_i\})$ を用いて、$A(\infty)$-代数と DG-コアルゲブラの間の関係を確立し、射および構造を保存する。
• $m_i$ がシャッフル積上で消えることを要請することで、可換 $A(\infty)$-代数の概念を導入し、DG-Hopf 代数構造を導く。
• Gerstenhaber の $\smile_1$ 積を用いて Hochschild コバウンダリーおよびコホモロジーを定義し、$A(\infty)$-構造の同値性とコチェインの同値性との関係を示す。
• 可換の場合の Harrison コホモロジー複体に Bar 構成を適用し、可換 $A(\infty)$-代数の射が DG-Hopf 代数の写像を誘導することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分代数のホモロジー上のすべての $A(\infty)$-構造が自明になるための、どのようなコホモロジー的条件が必要か？
• RQ2 Hochschild コホモロジー $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C))$ が $n \geq 3$ に対して消えると、$H(C)$ 上のすべての $A(\infty)$-構造が自明になる理由は何か？
• RQ3 可換 $A(\infty)$-構造の自明性に関する類似のコホモロジー的基準は何か？
• RQ4 有理コホモロジー代数上の $A(\infty)$-構造は、空間の有理ホモトピー型とどのように関係するか？
• RQ5 $A(\infty)$-構造の同値性と Hochschild コホモロジーにおけるねじれチェインの同値性との正確な関係は何か？

主な発見

• すべての $n \geq 3$ に対して $Hoch^{n,2-n}(H(C),H(C)) = 0$ ならば、$H(C)$ 上のすべての $A(\infty)$-構造は、$i \geq 3$ に対して $m_i = 0$ である自明な構造と同値である。
• $m_1 = 0$ であるグレーディング付き代数 $(M,\mu)$ 上の $A(\infty)$-構造の同値類の集合は、$Tw(M,M)$ 内のねじれチェインの集合と双対である。
• 可換 $A(\infty)$-構造に対しても同様の結果が成り立つ：$n \geq 3$ に対して $Harr^{n,2-n}(M,M) = 0$ ならば、すべての構造は自明である。
• Bar 構成 $\tilde{B}(M,\{m_i\})$ は、$A(\infty)$-代数から DG-コアルゲブラへの関手であり、$A(\infty)$-代数の射はこれらの DG-コアルゲブラの射を誘導する。
• 可換の場合、Bar 構成は DG-Hopf 代数を導き、可換 $A(\infty)$-代数の射は DG-Hopf 代数の写像を誘導する。
• 自明な $A(\infty)$-構造はゼロのねじれチェインに対応し、非自明な構造は $Tw(M,M)$ 内の非ゼロのねじれチェインから生じる。