[論文レビュー] Structure of fundamental groups of manifolds with Ricci curvature bounded below

Vitali Kapovitch, Burkhard Wilking|arXiv (Cornell University)|May 30, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用数 57

ひとこと要約

本稿は、リッチ曲率が下から有界なリーマン多様体に対して一般化されたマーガリス補題を確立し、任意の such 多様体の基本群が、有界な指数と有限な冪零基底長を持つべき零部分群を含むことを証明する。この結果は、グロモフの予想を解決し、断面曲率からリッチ曲率への一般化を、スケーリング技術と極限空間解析を用いて達成する。

ABSTRACT

Verifying a conjecture of Gromov we establish a generalized Margulis Lemma for manifolds with lower Ricci curvature bound. Among the various applications are finiteness results for fundamental groups of compact $n$-manifolds with upper diameter and lower Ricci curvature bound modulo nilpotent normal subgroups.

研究の動機と目的

• リッチ曲率が下から有界な多様体の基本群の構造に関してグロモフが提起した予想を解決すること。
• このような多様体の基本群におけるべき零部分群の指数に一様な上限を確立すること。
• マーガリス補題を断面曲率からリッチ曲率への一般化し、基本群に一様な構造的制約を与えること。
• 非負のリッチ曲率をもつ開多様体の基本群が、有界な指数と有限なべき零基底を持つべき零部分群を含むことを証明すること。
• ヤマグチのファイブレーション定理のリッチ曲率版を提供し、断面曲率の設定で用いられる勾配フロー法の代替を提示すること。

提案手法

• リッチ曲率が −(n−1) に近づく多様体の列を解析するためのスケーリング定理の使用により、スケーリングされた計量がコンパクトな距離空間とユークリッド空間の積に収束することを示す。
• 写像の弱い測度付きグロモフ＝ハウスドルフ収束を用いて、スケーリング下での微分同相写像の挙動を制御する。
• 調和関数とそのヘッセ行列の推定値を用いて、すべてのスケールで等長写像のように振る舞う微分同相写像を構成する。
• グロモフ＝ハウスドルフ収束性の前コンパクト性を用いた背理法的アプローチ。
• ズームイン性質を用いて、通常の被覆におけるデック変換を微分同相写像との合成によって変更し、幾何的制御を維持できることを保証する。
• リッチ有界列の極限空間のチーリー＝コールディング構造理論を活用し、基本群の漸近的幾何を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 n の完備な n 次元リーマン多様体 M に対して、リッチ曲率 Ric ≥ -(n−1) が単位球上で成り立つとき、π₁(B_ε(p), p) → π₁(B₁(p), p) の像は、指数が一様に有界なべき零部分群を含むか？
• RQ2 そのような部分群において、長さが n 以下のべき零基底が存在するか？ また、これは群のランクと構造にどのような意味を持つのか？
• RQ3 グロモフが予想したように、マーガリス補題を断面曲率からリッチ曲率に一般化し、指数に一様な上限を与えることは可能か？
• RQ4 非負のリッチ曲率をもつ開多様体の基本群が、有界な指数と有限なべき零基底を持つべき零部分群を含むことは示せるか？
• RQ5 リッチ曲率が −(n−1) に近づくスケーリングされた多様体の極限空間は群構造をもつのか？ そして、これは基本群の有限性に関する性質を導くのに利用できるか？

主な発見

• 各次元 n に対して、定数 C(n) と ε(n) が存在し、π₁(B_ε(p), p) → π₁(B₁(p), p) の像が、指数 ≤ C(n) のべき零部分群 N を含む。
• べき零部分群 N は長さが n 以下のべき零基底を持ち、これは rank(N) ≤ n を意味する。
• ランクの上限で等号が成立する場合、多様体 M はインフラニル多様体にホメオモーティックである。
• リッチ曲率 > -(n−1) で直径 ≤ ε(n) であるコンパクト多様体では、基本群が指数 ≤ C(n) のべき零部分群をもち、そのべき零基底の長さは ≤ n である。
• 非負のリッチ曲率をもつ開 n 次元多様体の基本群は、指数 ≤ C(n) のべき零部分群をもち、このべき零部分群のすべての有限生成部分群は長さ ≤ n のべき零基底を持つ。
• 任意の素数 p に対して、このような多様体の最初の ℤ_p ベッチ数は有限であり、これはもともと有理数係数でのみ知られていた結果を拡張する。