[論文レビュー] Structure of H-(co)module Lie algebras

А. С. Гордиенко|arXiv (Cornell University)|May 3, 2012

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本論文は、特性 0 の体上の有限次元リーヒルベルト代数に (co)半単純ホイープ代数 H の作用を備えた場合、レヴィ分解および可解根基の半単純部と冪零部への分解を H-(co)不変にできると確立する。主な貢献は、レヴィ定理およびウェイリ定理の H-(co)不変版の証明であり、既知の群作用やグレーディングに関する結果をホイープ代数の枠組みへと拡張するものである。

ABSTRACT

Let $L$ be a finite dimensional Lie algebra over a field of characteristic $0$. Then by the original Levi theorem, $L = B \oplus R$ where $R$ is the solvable radical and $B$ is some maximal semisimple subalgebra. We prove that if $L$ is an $H$-(co)module algebra for a finite dimensional (co)semisimple Hopf algebra $H$, then $R$ is $H$-(co)invariant and $B$ can be chosen to be $H$-(co)invariant too. Moreover, the nilpotent radical $N$ of $L$ is $H$-(co)invariant and there exists an $H$-sub(co)module $S\subseteq R$ such that $R=S\oplus N$ and $[B,S]=0$. In addition, the $H$-(co)invariant analog of the Weyl theorem is proved. In fact, under certain conditions, these results hold for an $H$-comodule Lie algebra $L$, even if $H$ is infinite dimensional. In particular, if $L$ is a Lie algebra graded by an arbitrary group $G$, then $B$ can be chosen to be graded, and if $L$ is a Lie algebra with a rational action of a reductive affine algebraic group $G$ by automorphisms, then $B$ can be chosen to be $G$-invariant. Also we prove that every finite dimensional semisimple $H$-(co)module Lie algebra over a field of characteristic $0$ is a direct sum of its minimal $H$-(co)invariant ideals.

研究の動機と目的

• 特性 0 の体上の有限次元リ代数の古典的レヴィ分解を H-(co)モジュール代数へと拡張し、ホイープ代数コアクションに関して不変となるように保証する。
• このようなリ代数の可解根基および冪零根基が H-(co)不変部分モジュールであることを証明する。
• 半単純 H-(co)モジュールリ代数に対して、H-(co)不変版のウェイリ定理を確立する。
• 群作用やグレーディングに関する既知の結果を、ホイープ代数作用のより広い枠組みへ一般化する。
• B, S, N がすべて H-(co)不変部分モジュールである分解 L = B ⊕ S ⊕ N を提供する。ここで B は半単純であり、[B,S] = 0 である。

提案手法

• 最大の半単純部分代数 B の L への随伴表現を用いて H-(co)モジュール構造を分析する。
• H-モジュール構造と H-コモジュール構造の双対性を応用し、コモジュールの場合の結果をモジュールの場合へ拡張する。
• H* に t(1) = 1 を満たす ad-不変な積分が存在することを活用し、根基の安定性を保証する。
• 与えられた条件下で (H, L)-モジュールの完全可約性を活用し、H-(co)不変補空間部分モジュールを構成する。
• 双対性と特殊化を用いて、問題を既知の G-グレーディングおよび G-不変リ代数に関する結果へ還元する。
• H-(co)モジュールリ代数におけるウェイリ定理の類似を、不変分解を構成するための主要な道具として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性 0 の体上の有限次元リ代数が H-(co)モジュール代数である場合、そのレヴィ分解を H-(co)不変にできるか？
• RQ2 H-(co)モジュールリ代数の可解根基および冪零根基は、必然的に H-(co)不変部分モジュールであるか？
• RQ3 H-(co)モジュールリ代数に対して、ウェイリ型定理が成り立つのか。つまり、H-(co)不変構造のもとでモジュールの完全可約性が保証されるか？
• RQ4 有限次元 H-(co)モジュールリ代数に対して、[B,S] = 0 を満たす分解 L = B ⊕ S ⊕ N を H-(co)不変にできるか？
• RQ5 H が ad-不変な積分 t と t(1) = 1 を持つならば、無限次元ホイープ代数 H に対しても結果が拡張可能か？

主な発見

• 特性 0 の体上の H-(co)モジュールリ代数の可解根基 R および冪零根基 N は、いずれも H-(co)不変部分モジュールである。
• 最大の半単純部分代数 B を H-(co)不変に選べることができ、L = B ⊕ R の分解において B および R が両方とも H-(co)不変である。
• R における N の H-(co)不変補空間 S が存在し、R = S ⊕ N かつ [B, S] = 0 を満たす。これにより、完全な分解 L = B ⊕ S ⊕ N が得られる。
• H-(co)不変版のウェイリ定理が成立する：任意の有限次元半単純 H-(co)モジュールリ代数は、その最小の H-(co)不変理想への直和に分解可能である。
• 結果は、任意の群 G に対するグレーディングリ代数および自己同型による有理関数的 G-作用を持つリ代数へ一般化可能であり、既知の G-不変およびグレーディング分解が特別な場合として回復される。
• H-(co)不変分解 L = B ⊕ S ⊕ N の存在は、非アーベルなグレーディング群に対する多項式 H-恒等式およびグレーディング恒等式の研究にとって不可欠である。