[論文レビュー] Structure of $J$-holomorphic disks with immersed Lagrangian boundary conditions

Perrier Alexandre|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$J$-擬全純ディスクのLazzariniの構造定理を、自己交叉を持つラグランジュ的境界条件への一般化し、有限エネルギーの$J$-擬全純ディスクが、コーナーを持つ場合および自己交叉を持つラグランジュ的境界上にある場合、有限個の単純または多重被覆ディスクを通じて因数分解されることを証明する。主な貢献は、$N_L \geq 3$ を満たすモノトーンラグランジュ部分多様体に対して、フローリングホモロジー計算における時間に依存しない almost complex 構造の使用を可能にする分解定理の確立である。この定理により、時間に依存しない almost complex 構造を必要とせず、ラグランジュ交叉理論における正則性と横断性の問題を解決する。

ABSTRACT

We explain how to generalize Lazzarini's structural Theorem from [Laz11] to the case of curves with boundary on a given Lagrangian immersion. As a consequence of this result, we show that we can compute Floer homology with time-independent almost complex structures. We also give some applications as well as topics for future work.

研究の動機と目的

• $J$-擬全純ディスクのLazzariniの構造定理を、自己交叉を持つラグランジュ的境界条件への場合にまで拡張すること。
• コーナーを持つ有限エネルギーの$J$-擬全純ディスクが、自己交叉ラグランジュ的境界上にある場合、有限個の単純または多重被覆ディスクへの分解を確立すること。
• モノトーン性およびマスロフ数の条件の下で、フローリングホモロジーが時間に依存しない almost complex 構造を用いて計算可能であることを示すこと。
• 自己交叉ラグランジュ的境界を持つラグランジュ交叉理論における正則性と横断性の基礎を提供すること。

提案手法

• 自己交叉ラグランジュ的境界上にあり、コーナー点が自己交叉点に対応する$J$-擬全純曲線を定義する。
• 曲線が境界と重複する領域に、$\mathcal{C}^1$-埋め込みグラフ（「フレーム」）を構成し、コーナー付近の漸近展開を用いる。
• 曲線の像が、有限個の単純または多重被覆$J$-擬全純ディスクの像の和集合として分解されることを証明する。
• 摂動法とGromovのコンパクトネスを用いて、テアドロップ型曲線の列の極限を解析し、破れたストリップへの収束を示す。
• 組合せ的インデックスの議論と正則性条件を用いて、複雑な破れた構造を除外し、単純または多重被覆曲線のみが現れることを証明する。
• 分岐点とコーナー構造を注意深く追跡することで、Lazzariniの証明戦略を自己交叉の場合に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lazzariniの$J$-擬全純ディスクに関する構造定理は、自己交叉ラグランジュ的境界条件の場合にまで拡張可能か？
• RQ2 自己交叉ラグランジュ的境界に対して、時間に依存しない almost complex 構造を用いてフローリングホモロジーを定義できる条件は何か？
• RQ3 コーナーを持つ有限エネルギーの$J$-擬全純ディスクが、自己交叉ラグランジュ的境界上にある場合の分解構造は何か？
• RQ4 ラグランジュの自己交叉に含まれる横断的二重点の存在は、$J$-擬全純ディスクのモジュライ空間にどのように影響するか？
• RQ5 このようなディスクが単純または多重被覆であることを保証する位相的および解析的制約は何か？

主な発見

• コーナーを持つ非自明な有限エネルギーの$J$-擬全純ディスクが、自己交叉ラグランジュ的境界上にある場合、有限個の単純または多重被覆$J$-擬全純ディスクを通じて因数分解される。
• 複素次元$n \geq 3$において、一般の時間に依存しない almost complex 構造$J$に対して、このようなディスクはすべて単純または単純ディスクの分岐被覆である。
• ディスクの像は、単純成分の像の和集合であり、ホモロジーでは、元のディスクの類は、各成分の類の重複度付きの和として表される。
• 二つの横断的モノトーンラグランジュ部分多様体$L_1, L_2$に対して$N_{L_1}, N_{L_2} \geq 3$が成り立つとき、時間に依存しない$J$を用いてフローリングホモロジーが適切に定義可能であり、時間に依存する摂動の必要がない。
• テアドロップ型曲線のモジュライ空間は、Gromov収束の下で破れたストリップに収束し、インデックス制約により、このような破れたストリップは単一の単純曲線からなる必要がある。
• インデックス不等式と条件$n \geq 3$により、破れた曲線の木構造は自明（単一頂点）である必要があり、非自明な破れた構造は排除される。