[論文レビュー] Structure of Julia sets for post-critically finite endomorphisms on $\mathbb{p}^2$

Zhuchao Ji|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 41被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、ℙ² 上の post-critically finite (PCF) な正則自己準同型写像について、ジュリア集合の構造を調査する。まず、最大エントロピー測度の台を越える最初のジュリア集合 $J_1 \setminus J_2$ が、臨界成分サイクルの吸引域と散発的スーパー・サドル・サイクルの安定多様体の和集合に含まれることを証明する。臨界分岐の横断的仮定のもとでは、さらに $J_1 \setminus J_2$ が臨界成分の吸引域に完全に含まれ、$J_2$ の任意の点がファトウ円板を含まないことが示され、フォルナエスとシボニーが提起した非定常集合とグリーンカレントの層構造に関する未解決問題が解決される。

ABSTRACT

Let $f$ be a post-critically finite endomorphism (PCF map for short) on $\mathbb{P}^2$, let $J_1$ denote the Julia set and let $J_2$ denote the support of the measure of maximal entropy. In this paper we show that: 1. $J_1\setminus J_2$ is contained in the union of the (finitely many) basins of critical component cycles and stable manifolds of sporadic super-saddle cycles. 2. For every $x\in J_2$ which is not contained in the stable manifold of a sporadic super-saddle cycle, there is no Fatou disk containing $x$. Here sporadic means that the super-saddle cycle is not contained in a critical component cycle. Under the additional assumption that all branches of $PC(f)$ are smooth and intersect transversally, we show that there is no sporadic super-saddle cycle. Thus in this case $J_1\setminus J_2$ is contained in the union of the basins of critical component cycles, and for every $x\in J_2$ there is no Fatou disk containing $x$. As consequences of our result: 1.We answer some questions of Fornaess-Sibony about the non-wandering set for PCF maps on $\mathbb{P}^2$ with no sporadic super-saddle cycles. 2. We give a new proof of de Th\'elin's laminarity of the Green current in $J_1\setminus J_2$ for PCF maps on $\mathbb{P}^2$. 3. We show that for PCF maps on $\mathbb{P}^2$ an invariant compact set is expanding if and only if it does not contain critical points, and we obtain characterizations of PCF maps on $\mathbb{P}^2$ which are expanding on $J_2$ or satisfy Axiom A.

研究の動機と目的

• ℙ² 上の post-critically finite (PCF) 自己準同型写像について、$J_1 \setminus J_2$ の構造を理解すること、特に臨界成分サイクルと散発的スーパー・サドル・サイクルが果たす役割を特定すること。
• フォルナエスとシボニーが提起した、ℙ² 上の PCF 写像についての非定常集合とグリーンカレントの層構造に関する未解決問題を解消すること。
• ℙ² 上の PCF 写像が $J_2$ で拡張的であるか、Axiom A を満たす条件を同定すること。臨界集合の構造と力学的性質を結びつけること。

提案手法

• 動的グリーンカレント $T$ の台である $J_1$ と、$T \wedge T$ の台である $J_2 = \mathrm{Supp}(T \wedge T)$ を用いて、ℙ² 上の PCF 写像の力学を分解して分析する。
• $J_1 \setminus J_2$ が、臨界成分サイクルの吸引域と散発的スーパー・サドル・サイクルの安定多様体の和集合に含まれることを特定する。ここで「散発的」とは、どの臨界成分サイクルにも属さないことを意味する。
• ファトウ円板（写像の反復が正規族をなす holomorphic 円板）の概念を適用し、散発的スーパー・サドル・サイクルの安定多様体に属さない $J_2$ の点には、ファトウ円板が存在しないことを証明する。
• グリーンカレントの層構造の分布を分析するために、トレース測度 $\sigma_T = T \wedge \omega$ を用い、$J_1 \setminus J_2$ におけるファトウ円板の存在と関連付ける。
• 臨界分岐に横断的かつ滑らかさの条件を課すことにより、散発的スーパー・サドル・サイクルを排除し、$J_1 \setminus J_2$ の構造を単純化する。
• ディンとシボニー、およびド・テーリンのグリーンカレントと層構造に関する結果を応用し、横断的仮定のもとで、グリーンカレントが $J_1 \setminus J_2$ で層構造的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PCF 自己準同型写像について、ℙ² 上の $J_1 \setminus J_2$ の正確な構造は何か？また、臨界成分サイクルと散発的スーパー・サドル・サイクルは、その構造にどのように寄与するか？
• RQ2 PCF 写像について、$J_2$ にファトウ円板が存在しないことは示せるか？その条件は何か？
• RQ3 臨界集合にどのような条件が課されると、散発的スーパー・サドル・サイクルが存在しないことから、$J_1 \setminus J_2$ が臨界成分の吸引域に完全に含まれるようになるか？
• RQ4 PCF 写像について、$J_2$ で拡張的であるか、Axiom A を満たすという性質は、臨界成分の力学とどのように関係するか？
• RQ5 グリーンカレントの $J_1 \setminus J_2$ における層構造は、臨界集合の構造的解析と力学的性質を用いて再証明可能か？

主な発見

• $J_1 \setminus J_2$ は、臨界成分サイクルの吸引域と散発的スーパー・サドル・サイクルの安定多様体の和集合に含まれる。ここで「散発的」とは、いかなる臨界成分サイクルにも含まれないことを意味する。
• 散発的スーパー・サドル・サイクルの安定多様体に属さない $J_2$ の任意の点 $x$ に対して、$x$ を含むファトウ円板は存在しない。これは、そのような点が力学的に正規でないことを示唆する。
• すべての $PC(f)$ の分岐が滑らかで、互いに横断的に交わるという仮定のもとでは、散発的スーパー・サドル・サイクルは存在せず、$J_1 \setminus J_2$ は臨界成分サイクルの吸引域に完全に含まれる。
• 本稿では、直接的なカレント理論的手法ではなく、構造的力学的解析を用いて、ド・テーリンによる PCF 写像についての $J_1 \setminus J_2$ におけるグリーンカレントの層構造の結果を再証明する。
• コンパクトな $f$-不変集合が拡張的であるための必要十分条件は、臨界点を含まないことである。また、PCF 写像について、$f$ が $J_2$ で拡張的であることは、すべての臨界成分が臨界成分サイクルに前周期的であることに同倣する。
• ℙ² 上の PCF 写像が Axiom A を満たすことは、$f$ が $J_2$ で拡張的であり、かつ各臨界成分サイクルと $J_1$ の交わりが双曲的（サドル的）集合であることに同倣する。