[論文レビュー] Structure of Noncommutative Fock space

Sicong Jing, Qiuyu Liu+1 more|May 5, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、座標-座標および運動量-運動量の両方の非可換性を持つ非可換位相空間における同一ボソンの非可換フォック空間の構造を調査する。標準フォック空間とは異なり、異なる自由度の数演算子は可換しないため、共通固有状態を有さない。しかし、シュミット直交化を用いて正規直交基底を構成し、2次元のコherent状態を明示的に構築した。その結果、座標-運動量の不確定性関係は満たされるが、座標-座標および運動量-運動量の関係は満たされないことが示された。

ABSTRACT

The structure of the state-vector space of identical bosons in noncommutative spaces is investigated. To maintain Bose-Einstein statistics the commutation relations of phase space variables should simultaneously include coordinate-coordinate non-commutativity and momentum-momentum non-commutativity, which lead to noncommutative Fock space. By this we mean that creation and annihilation operators corresponding to different degrees of freedom of the bosons do not commute each other. The main character of the noncommutative Fock space is there are no ordinary number representations because of the non-commutativity between different number operators. However, eigenvectors of several pairs of commuting Hermitian operators are obtained which can also be served as bases in this Fock space. As a simple example, an explicit form of two-dimensional canonical coherent state in this noncommutative Fock space is constructed and its properties are discussed.

研究の動機と目的

• 非可換空間における座標および運動量の非可換性を有する同一ボソンのフォック空間構造を理解すること。
• 数演算子が非可換であるために標準的な数状態表現が破綻することを扱うこと。
• シュミット直交化を用いて、非可換フォック空間における正規直交かつ完全な基底を構築すること。
• この非可換枠組みにおける2次元正準コherent状態を定義し、分析すること。
• 構築されたコherent状態における不確定性関係の挙動を検討すること。

提案手法

• 式 (1) の非可換位相空間代数から生成・消滅演算子を導出する（座標および運動量の両方の非可換性を組み込む）。
• 数演算子 $\hat{N}_a$ および $\hat{N}_b$ を定義し、それらが可換でないことを示し、同時に固有状態を有しないことを示す。
• 非可換フォック空間において、変形パラメータ $\theta$ の1次までで、シュミットの直交化法を用いて正規直交かつ完全な基底を構成する。
• 非可換代数的関係を用いて、2次元正準コherent状態 $|\alpha, \beta\rangle$ を構築する。
• コherent状態における $\hat{x}, \hat{y}, \hat{p}_x, \hat{p}_y$ の分散および不確定性関係を計算し、不確定性限界の達成度を評価する。
• パラメータ $\theta$ を用いて、非可換性を $[\hat{x}, \hat{y}] = i\theta/(m\omega)$ および $[\hat{p}_x, \hat{p}_y] = i m\omega \theta$ の形で表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 座標-座標および運動量-運動量の両方の非可換性が、同一ボソンのフォック空間構造にどのように影響を与えるか？
• RQ2 数演算子が非可換であるため、標準的な数状態がなぜ非可換フォック空間で基底として機能しなくなるのか？
• RQ3 数演算子の共通固有状態が存在しないにもかかわらず、非可換フォック空間において正規直交かつ完全な基底を構築できるか？
• RQ4 非可換フォック空間におけるコherent状態は、座標-運動量ペアのハイゼンベルク不確定性関係を満たすか？
• RQ5 非可換パラメータ $\theta$ は、標準的な座標-運動量の不確定性限界を超えて、不確定性関係にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 数演算子 $\hat{N}_a$ と $\hat{N}_b$ は非可換であり、したがって共通固有状態は存在しない。これにより、標準フォック空間基底は無効となる。
• シュミット直交化を用いて正規直交かつ完全な基底が構成され、その状態は $\hat{N}_a + \hat{N}_b - \theta \hat{L}$ および $\hat{N}_a$ または $\hat{N}_b$ の同時固有状態である。
• 2次元正準コherent状態 $|\alpha, \beta\rangle$ が明示的に構築され、過剰性（over-completeness）を示した。
• コherent状態における $\hat{x}, \hat{y}, \hat{p}_x, \hat{p}_y$ の分散は、それぞれ $\frac{1}{2m\omega}, \frac{1}{2m\omega}, \frac{m\omega}{2}, \frac{m\omega}{2}$ であり、$\theta$ に依存しない。
• 座標-運動量の不確定性関係 $\triangle \hat{x} \triangle \hat{p}_x = \frac{1}{2}$ および $\triangle \hat{y} \triangle \hat{p}_y = \frac{1}{2}$ は満たされるが、座標-座標および運動量-運動量の関係は満たされない。
• 従来の主張（非可換量子力学では1つだけの不確定性関係が満たされる）とは対照的に、二重非可換性により2つの不確定性関係が同時に満たされることが示された。