[論文レビュー] Structure of shape derivatives around irregular domains and applications

Jimmy Lamboley, Michel Pierre|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2006

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、R^Nにおける有界境界を持つ集合の周囲における形状微分の一般構造を確立し、微分が削減された境界における変形の法線成分のみに依存することを示している。境界がリプシッツである場合、形状微分の連続性が一様ノルムに関して成り立つという意味のある正の性質を導入することで、ハダマールの古典的結果を滑らかでない領域へと拡張し、周囲やディリクレエネルギー関数への応用を可能にした。

ABSTRACT

In this paper, we describe the structure of shape derivatives around sets which are only assumed to be of finite perimeter in $\R^N$. This structure allows us to define a useful notion of positivity of the shape derivative and we show it implies its continuity with respect to the uniform norm when the boundary is Lipschitz (this restriction is essentially optimal). We apply this idea to various cases including the perimeter-type functionals for convex and pseudo-convex shapes or the Dirichlet energy of an open set.

研究の動機と目的

• C^2領域に限らないハダマールの構造定理を、有界境界を持つ集合へと拡張すること。
• 不規則な形状の文脈において、形状微分に対する意味のある正の性質の定義をすること。
• 形状微分の正の性質が一様ノルムに関して連続性を示す条件を確立すること。
• 周囲やディリクレエネルギー関数など、凸または擬凸集合上での主要関数へのフレームワークの応用。
• 先鋭を持つ反例を用いて、リプシッツ境界条件の鋭さを示すこと。

提案手法

• 幾何的測度論を用いて、有界境界集合の削減された境界 ∂*E と単位法線 ν_E を定義する。
• 変形写像 Φ: ξ ↦ ξ|Γ · ν_E を定義し、ベクトル場を削減された境界 Γ 上での法線トレースに写像する。
• Φ(Θ) の像空間にバナッハノルムを導入し、形状微分 ℒ_E′(0) が Φ(Θ) 上の連続線形汎関数 l として表現されることを保証する。
• 形状微分の正の性質を導入する：Γ 上で H^{N-1}-ほとんど everywhere にわたって ξ·ν_E ≥ 0 ならば、ℒ_E′(0)·ξ ≥ 0 である。
• l の正の性質が、∂E がリプシッツである場合、l が L^∞(Γ) ノルム（すなわち一様ノルム）に関して連続であることを証明する。
• 先鋭を持つ反例を構築し、境界がリプシッツでない場合には正の性質が一様連続性を保証しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形状微分の構造は、C^2領域から有界境界集合へ一般化可能か？
• RQ2 境界が不規則な場合の形状微分に適した関数解析的枠組みは何か？
• RQ3 形状微分の正の性質（非減少関数への意味で）が一様ノルムに関して連続性を示すか？
• RQ4 このような連続性を保証するための境界のリプシッツ正則性は最適か？
• RQ5 この理論は、滑らかでない凸または擬凸領域上の周囲型関数やディリクレエネルギー関数に応用可能か？

主な発見

• 有界境界を持つ集合 E における形状微分は、削減された境界 ∂*E における変形の法線成分への作用によって完全に決定される。
• 形状微分は、L^∞(Γ) よりも強いノルムを持つバナッハ空間 Φ(Θ) 上の連続線形汎関数 l として表現できる。
• 形状微分の正の性質（変形が外向き法線方向である場合の非負性）が、∂E がリプシッツである場合、一様ノルムに関して連続性を示す。
• リプシッツ条件は本質的に最適である：先鋭を持つ反例により、リプシッツ正則性がなければ正の性質が一様連続性を保証しないことが示された。
• このフレームワークは、周囲型関数やディリクレエネルギー関数に適用可能であり、不規則な設定における形状最適化の厳密な基礎を提供する。
• 本稿は、全 variation 測度 |∇χ_E| が、∂*E に制限された (N-1) 次元ハウスドルフ測度と一致することを確立した。