[論文レビュー] Structure of symplectic invariant Lie subalgebras of symplectic derivation Lie algebras

Shigeyuki Morita, Takuya Sakasai+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、対称群の表現論と標準的計量を用いて、シミレクティック不変部分のシミレクティック導来リー代数 $χ_{g,1}^{Σp}$ について、次数20までに直交直和分解を確立する。ヤング図形で添え字づけられた既約成分の次元に対する明示的公式を提供し、関連するリー代数 $χ_{g,*}$、$χ_g$、$χ_{g,1}$ 間の構造的関係を明確にし、新規の構成法によりジョーンソン像およびイデアルにおける新たな障害を明らかにする。

ABSTRACT

We study the structure of the symplectic invariant part $\mathfrak{h}_{g,1}^{\mathrm{Sp}}$ of the Lie algebra $\mathfrak{h}_{g,1}$ consisting of symplectic derivations of the free Lie algebra generated by the rational homology group of a closed oriented surface $Σ_{g}$ of genus $g$. First we describe the orthogonal direct sum decomposition of this space which is induced by the canonical metric on it and compute it explicitly up to degree $20$. In this framework, we give a general constraint which is imposed on the $\mathrm{Sp}$-invariant component of the bracket of two elements in $\mathfrak{h}_{g,1}$. Second we clarify the relations among $\mathfrak{h}_{g,1}$ and the other two related Lie algebras $\mathfrak{h}_{g,*}$ and $\mathfrak{h}_{g}$ which correspond to the cases of a closed surface $Σ_g$ with and without base point $*\inΣ_g$. In particular, based on a theorem of Labute, we formulate a method of determining these differences and describe them explicitly up to degree $20$. Third, by giving a general method of constructing elements of $\mathfrak{h}_{g,1}^{\mathrm{Sp}}$, we reveal a considerable difference between the two submodules of it, one is the $\mathrm{Sp}$-invariant part of a certain ideal $\mathfrak{j}_{g,1}$ and the other is that of the Johnson image. Finally we combine these results to determine the structure of $\mathfrak{h}_{g,1}$ completely up to degree $6$ including the unstable cases where the genus $1$ case has an independent meaning. In particular, we see a glimpse of the Galois obstructions explicitly from our point of view.

研究の動機と目的

• シミレクティック導来リー代数 $χ_{g,1}$ が genus $g$ の曲面の有理ホモロジー上の自由リー代数に作用する、シミレクティック不変部分 $χ_{g,1}^{\mathrm{Sp}}$ の構造を特定すること。
• 基点を有する・ない曲面に対応する $χ_{g,1}$、$χ_{g,*}$、$χ_g$ 間の構造的差異を明確にすること。
• $χ_{g,1}^{\mathrm{Sp}}$ における要素を構成する一般的手法を開発し、ジョーンソン像の $σ$-不変部分と特定のイデアル $χ_{g,1}^+$ の不変部分を区別すること。
• $χ_{g,1}(2k)^{\mathrm{Sp}}$ の直交分解を次数20まで明示的に計算し、次元と既約成分を提示すること。

提案手法

• 著者らは、ハロンとウォレスの結果により誘導される $(H_{\mathbb{Q}}^{⊗(2k+2)})^{\mathrm{Sp}}$ 上の標準的計量を用い、$χ_{g,1}(2k)^{\mathrm{Sp}}$ をヤング図形 $\lambda$ で添え字づけられた直交部分空間 $H_\lambda$ に分解する。ここで $|\lambda|=k+1$ である。
• 対称群 $\mathfrak{S}_{2k+2}$ の指標論を適用し、コンツェビッチが定義した指標 $\chi_{2k}$ と、二重ヤング図形 $\lambda^\delta$ に対応する既約表現の指標 $\chi_{\lambda^\delta}$ を用いて、各 $H_\lambda$ の次元を計算する。
• 分解は $\mathfrak{h}_{g,1}(2k)^{\mathrm{Sp}} \cong \bigoplus_{|\lambda|=k+1, h(\lambda)\leq g} H_\lambda$ と表され、次元公式は $\mathrm{dim}\, H_\lambda = \frac{1}{(2k+2)!} \sum_{\gamma \in \mathfrak{S}_{2k+2}} \chi_{2k}(\gamma) \chi_{\lambda^\delta}(\gamma)$ である。
• 著者らはラブーテの定理を用いて、リー代数 $\mathfrak{h}_{g,1}$、$\mathfrak{h}_{g,*}$、$\mathfrak{h}_g$ 間の関係を関連させ、次数20までにそれらの差異を明示的に記述する。
• 彼らは $\mathfrak{h}_{g,1}^{\mathrm{Sp}}$ における要素を構成する一般的手法を導入し、ジョーンソン像の $\mathrm{Sp}$-不変部分とイデアル $\mathfrak{j}_{g,1}$ の $\mathrm{Sp}$-不変部分の間の顕著な構造的差異を明らかにする。
• 次数14から20までの直交分解の表を明示的に計算し、$\mathfrak{h}_{g,1}(2k)^{\mathrm{Sp}}$ が $\lambda^\delta$ で添え字づけられた既約 $\mathrm{Sp}$-加群への分解を示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $\mathfrak{h}_{g,1}(2k)^{\mathrm{Sp}}$ が既約 $\mathrm{Sp}$-加群に直交直和分解され、対称群の指標を用いて計算可能か？
• RQ2 リー代数 $\mathfrak{h}_{g,1}$、$\mathfrak{h}_{g,*}$、$\mathfrak{h}_g$ 間の構造的差異は何か？ そして、次数20までにその正確な記述は可能か？
• RQ3 リー代数 $\mathfrak{h}_{g,1}$ 内で、ジョーンソン像の $\mathrm{Sp}$-不変部分とイデアル $\mathfrak{j}_{g,1}$ の $\mathrm{Sp}$-不変部分との関係は何か？
• RQ4 どのようにして $\mathrm{Sp}$-不変要素を $\mathfrak{h}_{g,1}$ に体系的に構成できるか？ また、これによりどのような構造的洞察が得られるか？
• RQ5 $\mathfrak{h}_{g,1}$ の完全な構造は、次数6まで、特に genus 1 の不安定な場合も含めて特定可能か？ そしてガロア障害はどのように現れるか？

主な発見

• 空間 $\mathfrak{h}_{g,1}(2k)^{\mathrm{Sp}}$ は、$|\lambda|=k+1$ かつ $h(\lambda)\leq g$ を満たすヤング図形 $\lambda$ で添え字づけられた直交直和分解 $\bigoplus_{|\lambda|=k+1, h(\lambda)\leq g} H_\lambda$ を持ち、各 $H_\lambda$ は $k+1$ 個の箱を持つ既約 $\mathrm{Sp}$-加群である。
• 各 $H_\lambda$ の次元は公式 $\mathrm{dim}\, H_\lambda = \frac{1}{(2k+2)!} \sum_{\gamma \in \mathfrak{S}_{2k+2}} \chi_{2k}(\gamma) \chi_{\lambda^\delta}(\gamma)$ で与えられ、ここで $\chi_{2k}$ はモービウス関数と巡回型を用いて定義される。
• 次数14（$2k=14$）において、$g \geq 7$ のとき $\dim \mathfrak{h}_{g,1}(14)^{\mathrm{Sp}} = 8817$ であり、分解は $[21^6]^\delta$ である。これは安定極限を示している。
• $g \geq 9$ における $\mathfrak{h}_{g,1}(20)^{\mathrm{Sp}}$ の分解は $[21^8]^\delta$ であり、$g=9$ で安定化しており、次元は 29729988 である。
• ジョーンソン像の $\mathrm{Sp}$-不変部分とイデアル $\mathfrak{j}_{g,1}$ の $\mathrm{Sp}$-不変部分の差は、構成法により非自明であることが示され、リー代数内での構造的差異が明らかになった。
• $\mathfrak{h}_{g,1}$ の完全な構造は次数6まで特定されており、genus 1 の場合も含む。ガロア障害は分解を通じて明示的に観察された。