[論文レビュー] Structure of the extended Schrodinger-Virasoro Lie algebra

Shoulan Gao, Cuipo Jiang+1 more|ArXiv.org|Jan 14, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、拡張されたシュレーディンガー＝ヴァイラソロ代数 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ を完全に特徴づけ、中心が自明でかつすべての導分が内部的であることを証明し、その普遍中心拡大を特定し、$\widetilde{\mathfrak{sv}}$ の自己同型群がその普遍中心拡大の自己同型群と同型であることを示している。主な結果は、$\mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{sv}}) \cong \mathrm{Aut}(\widehat{\mathfrak{sv}})$ であり、Lie代数コホモロジーと階数付き構造解析を用いて、自己同型および中心拡大の明示的生成子と関係式が得られている。

ABSTRACT

In this paper, we study the derivations, the central extensions and the automorphism group of the extended Schrodinger-Virasoro Lie algebra, introduced by J. Unterberger in the context of two-dimensional conformal field theory and statistical physics. Moreover, we show that the extended Schrodinger-Virasoro Lie algebra is an infinite-dimensional complete Lie algebra and the universal central extension of the extended Schrodinger-Virasoro Lie algebra in the category of Leibniz algebras is the same as that in the category of Lie algebras.

研究の動機と目的

• 拡張されたシュレーディンガー＝ヴァイラソロLie代数 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ の導分、中心拡大、自己同型の完全な構造を特定すること。
• 中心が自明でかつすべての導分が内部的であることを示すことにより、$\widetilde{\mathfrak{sv}}$ が完全Lie代数であることを証明すること。
• 普遍中心拡大 $\widehat{\mathfrak{sv}}$ の計算を行い、その生成子と関係式を同定すること。
• Leibniz代数のカテゴリにおける $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ の普遍中心拡大が、Lie代数のカテゴリにおけるそれと一致することを示すこと。
• 両方の代数 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ およびその普遍中心拡大 $\widehat{\mathfrak{sv}}$ の自己同型群を明示的に記述し、それらが同型であることを証明すること。

提案手法

• $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$-階数を用いてLie代数構造を分析し、同次成分を分類すること。
• Lie代数コホモロジー技法を適用して $\mathrm{H}^1(\widetilde{\mathfrak{sv}}, \widetilde{\mathfrak{sv}})$ を計算し、すべての導分が内部的であることを証明すること。
• 外積代数 $\Lambda^2(\widetilde{\mathfrak{sv}})/J$ を用いて普遍中心拡大 $\widehat{\mathfrak{sv}}$ を構成し、中心的生成子 $C_L$, $C_{LN}$, $C_N$ を特定すること。
• 交換関係の恒等式と対称性制約を用いて、普遍中心拡大における明示的関係を導出すること。
• 自己同型の持ち上げ技術を用いる：$\widetilde{\mathfrak{sv}}$ の任意の自己同型は $\widehat{\mathfrak{sv}}$ 上の自己同型を誘導し、逆も同様である。
• パrameter $\epsilon \in \{\pm 1\}$, $\lambda \in \mathbb{Z}$, $a,d \in \mathbb{C}^*$ を用いて自己同型の一般形を導出し、Lie括弧に関して閉じていることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張されたシュレーディンガー＝ヴァイラソロ代数 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ は完全であるか、すなわち中心が自明でかつすべての導分が内部的であるか？
• RQ2 拡張されたシュレーディンガー＝ヴァイラソロ代数 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ の普遍中心拡大は何か？また、ねじれヘイゼンベルク＝ヴァイラソロ代数とはどのように関係しているか？
• RQ3 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ に非ゼロの対称的不変双線形形式が存在しないことから、Leibnizカテゴリにおける普遍中心拡大がLie代数カテゴリにおけるそれと一致するか？
• RQ4 拡張されたシュレーディンガー＝ヴァイラソロ代数 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ の自己同型群の明示的構造は何か？
• RQ5 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ とその普遍中心拡大 $\widehat{\mathfrak{sv}}$ の自己同型群は同型か？

主な発見

• 拡張されたシュレーディンガー＝ヴァイラソロ代数 $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ は完全である：中心が自明で、すべての導分が内部的であるため、$\mathrm{H}^1(\widetilde{\mathfrak{sv}}, \widetilde{\mathfrak{sv}}) = 0$ である。
• 普遍中心拡大 $\widehat{\mathfrak{sv}}$ は、生成子 $L'_n, M'_n, N'_n, Y'_{n+1/2}$ および中心的要素 $C_L, C_{LN}, C_N$ を含む基底を持ち、明示的な交換関係と中心拡大を有する。
• 中心拡大は明示的に計算されている：$C_L = 2L_2 \vee L_{-2}$, $C_{LN} = \frac{1}{2}(L_1 \vee N_{-1} + L_{-1} \vee N_1)$, $C_N = N_{-1} \vee N_1$ であり、これらは $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ のLie代数コホモロジーから導出されている。
• 非ゼロの対称的不変双線形形式は $\widetilde{\mathfrak{sv}}$ に存在しないため、Leibnizカテゴリにおける普遍中心拡大はLie代数カテゴリにおけるそれと一致する。
• 自己同型群 $\mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{sv}})$ とその普遍中心拡大 $\widehat{\mathfrak{sv}}$ の自己同型群は同型である、すなわち $\mathrm{Aut}(\widetilde{\mathfrak{sv}}) \cong \mathrm{Aut}(\widehat{\mathfrak{sv}})$ であり、自己同型は $\epsilon \in \{\pm 1\}$, $\lambda \in \mathbb{Z}$, $a,d \in \mathbb{C}^*$ をパrameterとしてパrameter化されている。
• 自己同型は生成子に以下のように作用する：$\tilde{\theta}(L'_n) = a^n \epsilon L'_{\epsilon n} + a^n \lambda N'_{\epsilon n} - \lambda \delta_{n,0} C_{LN} + \frac{\epsilon}{2}\lambda^2 \delta_{n,0} C_N$ および他の生成子に対しても同様であり、全Lie代数構造を保存する。