[論文レビュー] Structure of the largest idempotent-free sequences in finite semigroups

Guoqing Wang|arXiv (Cornell University)|May 24, 2014

semigroups and automata theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、有限半群における最大の冪等元積自由列の構造を特徴づけ、Gillam, Hall, and Williams の1972年の結果を拡張し、自然順序で冪等元積を含まない部分列を避ける長さ $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ の列の正確な形を特定している。非アーベル的かつ非群的状況へ一般化する新しい半群の構造定数を導入している。

ABSTRACT

Let $\mathcal{S}$ be a finite semigroup, and let $E(\mathcal{S})$ be the set of all idempotents of $\mathcal{S}$. Gillam, Hall and Williams proved in 1972 that every $\mathcal{S}$-valued sequence $T$ of length at least $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is not (strongly) idempotent-product free, in the sense that it contains a nonempty subsequence the product of whose terms, in their natural order in $T$, is an idempotent, which affirmed a question of Erdős. They also showed that the value $|\mathcal{S}|-|E(\mathcal{S})|+1$ is best possible. Here, motivated by Gillam, Hall and Williams' work, we determine the structure of the idempotent-product free sequences of length $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ when the semigroup $\mathcal{S}$ (not necessarily finite) satisfies $|\mathcal{S}\setminus E(\mathcal{S})|$ is finite, and we introduce a couple of structural constants for semigroups that reduce to the classical Davenport constant in the case of finite abelian groups.

研究の動機と目的

• 有限半群における最大長の冪等元積自由列の正確な構造を特定すること。
• 非アーベル的および非群的半群へ一般化された古典的デイビスン定数を、新しい構造的不変量を用いて拡張すること。
• Gillam, Hall, and Williams の1972年の結果、すなわち冪等元部分列積を保証する閾値長さの一般化。
• 自然順序で冪等元積を含まない長さ $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ の列の特徴づけ。
• 有限アーベル群の場合にデイビスン定数に還元される新しい定数を導入・分析すること。

提案手法

• 非冪等元元の集合が有限である半群における列の構造を分析すること。
• 自然順序における列積の枠組みを用いて、冪等元が現れる条件を同定すること。
• 半群に対して、冪等元積自由列の最大長を測る2つの新しい構造定数を導入すること。
• このような列の最大長が正確に $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ に等しく、その構造を特徴づけること。
• これらの定数が有限アーベル群に制限された場合に、古典的デイビスン定数に還元されることを確立すること。
• 組合せ論的および半群論的技法を用いて、冪等元積を避ける列の構造的制約を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限半群における最大の冪等元積自由列の正確な構造は何か？
• RQ2 非冪等元元の集合が有限であるとき、最大の冪等元積自由列はどのように振る舞うか？
• RQ3 非アーベル的および非群的状況へ一般化されたデイビスン定数を一般化する半群に定義可能な構造定数は何か？
• RQ4 長さ $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ の列が自然順序で冪等元積を含まない条件は何か？
• RQ5 これらの新しい定数は、有限アーベル群の場合に古典的デイビスン定数とどのように関係するか？

主な発見

• 非冪等元元の集合が有限である半群 $\mathcal{S}$ における冪等元積自由列の最大長は、正確に $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ に等しい。
• このような最大長の列は、すべて $\mathcal{S}$ の非冪等元元における構成に基づいて完全に特徴づけられる。
• この論文は、非アーベル的および非群的状況へ一般化されたデイビスン定数を一般化する2つの新しい構造定数を導入している。
• これらの定数は、半群が有限アーベル群である場合に、古典的デイビスン定数に還元される。
• 最大長 $|\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})|$ を達成する列の構造は、極めて制約が強く、すべての項が $\mathcal{S} \setminus E(\mathcal{S})$ に属していることが示されている。
• Gillam, Hall, and Williams が提示した閾値 $|\mathcal{S}| - |E(\mathcal{S})| + 1$ が最適であることが確認され、この閾値よりわずかに小さい列の完全な構造的記述が提供されている。