[論文レビュー] Structure of the moduli of stable sheaves on elliptic fibrations

Daniel Hernández Ruipérez, José M. Muñoz Porras|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、楕円曲面上の縁なし層のモジュライ空間の部分スキームで、相対的次数がゼロの安定層であるものについて特徴づけ、相対的フーリエ＝ムカイ変換により、基底にフラットな曲線の相対的コンパクト化されたシンプソン・ジャコビアンに同型であることを示している。主な結果として、この部分スキームが連結成分の和集合をなしていることが示され、Friedman, Morgan, Wittenの先行研究を一般化している。

ABSTRACT

We characterize the subscheme of the moduli space of torsion-free sheaves on an elliptic surface which are stable of relative degree zeero (with respect to a polarization of type aH+bf, H being the section and f the elliptic fibre) which is isomorphic, via the relative Fourier-Mukai transform, with the relative compactified Simpson Jacobian of the family of those curves D in the surface which are flat over the base of the elliptic fibration. The main result is that this subscheme is a union of connected components. This generalizes and completes earlier constructions due to Friedman, Morgan and Witten. We also study the relative moduli scheme of sheaves whose restriction to each fibre is torsion-free and semistable of rank n and degree zero for higher dimensional elliptic fibrations. The relative Fourier-Mukai transform induces an isomorphic between this relative moduli space and the relative n-th symmetric product of the fibration.

研究の動機と目的

• 楕円曲面上の縁なし層のモジュライ空間において、相対的次数がゼロの安定層である部分スキームを特徴づけること。
• この部分スキームと、ファイブレーションの基底にフラットな曲線の相対的コンパクト化されたシンプソン・ジャコビアンとの同型を確立すること。
• Friedman, Morgan, Wittenが先行して行った楕円ファイブレーション上の層のモジュライに関する構成を一般化・完成すること。
• 次元がより高い楕円ファイブレーションへと分析を拡張し、各ファイバー上でランクn、次数ゼロの縁なし、半安定な制限を持つ層に焦点を当てる。
• 相対的フーリエ＝ムカイ変換を用いて、このような層の相対的モジュライ空間が、ファイブレーションの相対的n次の対称積に同型であることを示すこと。

提案手法

• 相対的フーリエ＝ムカイ変換を双対性の道具として用い、層のモジュライ空間とジャコビアン、対称積を関連付ける。
• HがセクションでfがファイバーであるタイプaH + bfの極性に関して、相対的次数ゼロの層を分析する。
• 相対的コンパクト化されたシンプソン・ジャコビアンの理論を用いて、ファイバー上の縁なし、半安定層のモジュライを記述する。
• 楕円ファイブレーションの構造と、表面内に存在する曲線Dの平坦性条件を用い、基底と整合するように保証する。
• 各ファイバー上で固定ランクnと次数ゼロを持つ層を考察することで、次元がより高い楕円ファイブレーションへの構成を拡張する。
• フーリエ＝ムカイ変換を用いて、このような層の相対的モジュライ空間と相対的n次の対称積との同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 楕円曲面上の縁なし層のモジュライ空間において、相対的次数がゼロの安定層である部分スキームの構造は何か？
• RQ2 相対的フーリエ＝ムカイ変換は、この部分スキームを基底にフラットな曲線の相対的コンパクト化されたシンプソン・ジャコビアンとどのように関係付けるか？
• RQ3 この部分スキームはモジュライ空間内で連結成分の和集合であるか？
• RQ4 次元がより高い楕円ファイブレーションにおいて、ランクn、次数ゼロの半安定層の相対的モジュライ空間と相対的n次の対称積との同型は確立可能か？
• RQ5 本研究の結果は、Friedman, Morgan, Wittenの先行研究をどのように一般化または完成させるか？

主な発見

• 相対的次数ゼロの安定層の部分スキームは、相対的フーリエ＝ムカイ変換により、基底にフラットな曲線の相対的コンパクト化されたシンプソン・ジャコビアンに同型である。
• この部分スキームが縁なし層のモジュライ空間内に連結成分の和集合として実現されていることが示された。
• 相対的フーリエ＝ムカイ変換により、各ファイバー上で縁なし、半安定な制限を持つランクn、次数ゼロの層の相対的モジュライ空間と、ファイブレーションの相対的n次の対称積との同型が誘導される。
• 本研究の結果は、Friedman, Morgan, Wittenによる楕円ファイブレーション上の層のモジュライに関する先行研究を一般化・完成している。
• 同型関係は、次元がより高い楕円ファイブレーションの文脈でも成立し、双対性がより広いクラスの代数的多様体へと拡張されている。
• 安定性、平坦性、フーリエ＝ムカイ双対性の相互作用を通じて、モジュライ空間の構造が完全に特徴づけられている。