[論文レビュー] Structure-preserving Finite Element Methods for Stationary MHD Models

Kaibo Hu, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、磁場 $m{B}$ と電流密度 $m{j}$ を主変数として用いる、定常磁気流体力学（MHD）の構造保存型混合有限要素法を提案する。この手法は $H(\mathrm{div})$-適合有限要素とラグランジュ乗数を用いて、$ abla\cdot\bm{B}=0$ の発散自由条件と系全体のエネルギー法則を厳密に保存し、レイノルズ数に制限がなく、適切な定式化と収束性を保証する。

ABSTRACT

In this paper, we develop a class of mixed finite element scheme for stationary magnetohydrodynamics (MHD) models, using magnetic field $\bm B$ and current density $\bm j$ as the discretization variables. We show that the Gauss's law for the magnetic field, namely $ abla\cdot\bm{B}=0$, and the energy law for the entire system are exactly preserved in the finite element schemes. Based on some new basic estimates for $H^{h}(\mathrm{div})$, we show that the new finite element scheme is well-posed. Furthermore, we show the existence of solutions to the nonlinear problems and the convergence of Picard iterations and finite element methods under some conditions.

研究の動機と目的

• 離散レベルで磁場のガウスの法則 $ abla\cdot\bm{B}=0$ を厳密に保存する定常MHD用の有限要素スキームを開発すること。
• 全MHD系の離散エネルギー法則を正確に保存し、数値シミュレーションにおける物理的一致性を維持すること。
• 小レイノルズ数を要件としない非線形離散問題の適切な定式化を確立すること。これにより、先行手法の制限を克服する。
• 時間依存MHDにおける構造保存技術を定常系に拡張すること。この場合、ファラデーの法則が自然に $m{B}$ の発散自由性を保証しない。
• 適切な正則性および有限要素近似の仮定の下で、ピカール反復と有限要素近似の収束を示すこと。

提案手法

• 主未知数として $m{B}$ と $m{j}$ を用い、$ abla\cdot\bm{B}=0$ を厳密に強制するためのラグランジュ乗数を導入。$ abla\cdot\bm{B}=0$ の離散的保存を保証する。
• 離散定式化は、$m{B}$ に対して $H(\mathrm{div})$-適合有限要素、関連変数に対して $H(\mathrm{curl})$-適合有限要素を用い、de Rham複体と整合性を持つように設計。
• ローレンツ力項は $(\bm{E} + \mathbb{P}(\bm{u}\times\bm{B}), \mathbb{P}(\bm{v}\times\bm{B}))$ の形に離散化され、時間依存系とは異なり、小 $R_e$ を要件としない適切な定式化を可能にする。
• 離散インフラ条件およびスキームの安定性を解析するため、$H^h(\mathrm{div})$ 空間に対する新しい推定式を導出。
• 速度、圧力、磁場、電流密度、ラグランジュ乗数の適切な関数空間を用いた混合変分定式化を用いて解析。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常MHD用の有限要素法を構築可能か？ その場合、離散レベルで $ abla\cdot\bm{B}=0$ を厳密に保存できるか？
• RQ2 定常有限要素離散化において、MHD系のエネルギー法則をどのように厳密に保存できるか？
• RQ3 離散問題の適切な定式化は、レイノルズ数 $R_e$ に制限を設けずに確立可能か？
• RQ4 変数の選択（$m{B}$ と $m{j}$）が、構造保存の実現と制限のない仮定の回避に果たす役割は何か？
• RQ5 特にローレンツ力に現れる離散非線形項は、スキームの安定性および収束性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 提案された有限要素スキームは、$H(\mathrm{div})$-適合要素とラグランジュ乗数を用いて、離散レベルでガウスの法則 $ abla\cdot\bm{B}=0$ を厳密に保存する。
• 全MHD系の離散エネルギー法則が正確に保存され、長期的な安定性と物理的一致性が保証される。
• レイノルズ数 $R_e$ に制限がなく、$m{E}$ を用いた手法とは異なり、離散問題の適切な定式化が確立された。
• 適切な正則性および近似の仮定の下で、ピカール反復と有限要素近似の収束が証明された。
• 有限要素空間が $r_1 = r_2 = r_3 + 1 = s_u = s_p + 1$ を満たす場合、最適収束率を示す誤差推定式が導出された。BDMおよびネデリュック要素は有効な選択肢である。
• 解析上の技術的制限により、最低次のラヴィアルト＝トーマス要素は使用を避けるが、この制限は本質的ではないとされている。