[論文レビュー] Structure theorems for actions of homeomorphism groups

Lei Chen, Kathryn Mann|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ホメオモルフィズム群および微分同相群の多様体上への作用について、包括的な構造定理を確立し、Ghys, Hurtado, Militon の長年の予想を解決する。$`\operatorname{Homeo}_0(M)`$ の有限次元多様体上への推移的作用は、$M$ 上の点の配置空間から生じる。次に、次元制約の下で、$`\operatorname{Diff}^r_0(M) \to \operatorname{Diff}^s_0(N)`$ のホモーレジズムを分類し、このような作用がファイバー・バンドル構造または自明なものであることを示す。本研究は、$`\operatorname{Homeo}_0(S^1)`$ の曲面への作用を完全に分類し、境界付き多様体の微分同相の拡張問題を解決する。

ABSTRACT

We give general classification and structure theorems for actions of groups of homeomorphisms and diffeomorphisms on manifolds, reminiscent of classical results for actions of (locally) compact groups. This gives a negative answer to Ghys' "extension problem" for diffeomorphisms of manifolds with boundary, as well as a classification of all homomorphisma $\mathrm{Homeo}_0(M) o \mathrm{Homeo}_0(N)$ when dim(M) = dim(N) (and related results for diffeomorphisms), and a complete classification of actions of $\mathrm{Homeo}_0(S^1)$ on surfaces. This resolves many problems in a program initiated by Ghys, and gives definitive answers to conjectures of Militon and Hurtado and a question of Rubin.

研究の動機と目的

• 有限次元多様体またはCW複体への $\operatorname{Homeo}_0(M)$ および $\operatorname{Diff}^r_0(M)$ の連続的全作用を分類すること。
• 境界付き多様体の微分同相のGhysの拡張問題を解決し、$\operatorname{Diff}^\infty_0(\partial M)$ から $\operatorname{Diff}^\infty_0(M)$ への非自明なホモーレジズムが存在しないことを示すこと。
• $\dim(M) = \dim(N)$ のとき、すべてのホモーレジズム $\rho: \operatorname{Homeo}_0(M) \to \operatorname{Homeo}_0(N)$ を分類し、それらが自然な幾何的構成から生じることを示すこと。
• $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$ の曲面への作用の分類を完全に完了し、開アンナラスや球面を含め、$\operatorname{Homeo}_0(S^n)$ の $(n+1)$-次元球面への作用に拡張すること。
• 次元および推移的性の制約の下で、$\operatorname{Homeo}(X) \to \operatorname{Homeo}(Y)$ が $X$ が $Y$ の連続的像であることを示す Rubin 問題に対する決定的な答えを提供すること。

提案手法

• すべての $\operatorname{Homeo}_c(M)$ の有限次元CW複体上での軌道が、点または配置空間 $\operatorname{Conf}_n(M)$ の被覆の連続的単射像のいずれかであるという軌道分類定理を用いる。
• 固定点集合の構造に基づき、$\operatorname{Homeo}_0(S^1)$-作用の軌道を次数 0, 1, 2 に分類するための次数論を適用する。
• 2次元軌道上の作用を正規化するために、共役法を用い、デーン回転と径方向共役を用いて標準形に還元する。
• 作用を共役化する明示的ホメオモルフィズム $h: [0,1] \to [0,1]$ を構成し、2つの作用が同値であるための必要十分条件が $h(K) = K'$ かつ $\lambda$ と $h \circ \lambda'$ が $[0,1] \setminus K$ のほとんどすべての成分で一致することであることを示す。
• 軌道の列の収束を、写像 $\phi: \theta \mapsto \operatorname{Fix}(G_0 \cap G_\theta)$ を用いて分析し、背理法により蓄積点で連続性を証明する。
• 固定点集合 $\operatorname{Fix}(\rho(h))$ が閉集合であるという事実を用い、1次元軌道上の点列における一貫しない極限行動を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元多様体上への $\operatorname{Homeo}_0(M)$ の連続的全作用は、自然な $\operatorname{Conf}_n(M)$ 上の作用を通じて因子分解可能か？
• RQ2 $\dim(N) < 2\dim(M)$ のとき、非自明なホモーレジズム $\operatorname{Diff}^r_0(M) \to \operatorname{Diff}^s_0(N)$ が存在可能か？ その場合、どのような構造を持つのか？
• RQ3 ホモーレジズム $\operatorname{Diff}^\infty_0(\partial M) \to \operatorname{Diff}^\infty_0(M)$ の存在が、制限写像への群論的セクションを示唆するか？ もし示さないならば、その理由は何か？
• RQ4 コンパクトな $M$ に対して、すべての $\operatorname{Homeo}_0(M)$ の自己準同型が、同型による共役によって誘導されるという Militon の予想は、一般に正しいか？
• RQ5 球面、開アンナラス、および円板上の $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$ の作用の完全な分類は何か？

主な発見

• $\operatorname{Homeo}_0(M)$ の有限次元多様体またはCW複体上への推移的作用は、自然な $\operatorname{Conf}_n(M)$ 上の作用から生じ、その像空間はこのような配置空間の被覆と位相的に同相である。
• $\dim(N) < 2\dim(M)$ のとき、任意の非自明な連続的ホモーレジズム $\rho: \operatorname{Diff}^r_0(M) \to \operatorname{Diff}^s_0(N)$ は、固定点のない作用を引き起こし、$N$ は $M$ 上の位相的ファイバー・バンドルである。
• 境界付き多様体の微分同相の拡張問題には否定的な答えがある：$M$ が球体であるとき、$\operatorname{Diff}^\infty_0(\partial M)$ から $\operatorname{Diff}^\infty_0(M)$ への非自明なホモーレジズムは存在しない。
• Militon が予想したように、すべての $\operatorname{Homeo}_0(M)$ の自己準同型が内因的であるという予想は一般には誤りであるが、負の曲率をもつ多様体ではその失敗は制限されており、完全に分類可能である。
• 曲面への $\operatorname{Homeo}_0(S^1)$ の作用はすべて分類されており、$n=1$ と $n>1$ の場合において、$(n+1)$-次元球面への作用では顕著な違いが生じる。
• 2つのホモーレジズム $\rho_{K,\lambda}$ と $\rho_{K',\lambda'}$ が共役であるための必要十分条件は、$h: [0,1] \to [0,1]$ が存在して $h(K) = K'$ かつ $\lambda$ と $h \circ \lambda'$ が $[0,1] \setminus K$ のほとんどすべての成分で一致することである。