[論文レビュー] Structured $H_\infty$-Optimal Control for Nested Interconnections: A State-Space Solution

Carsten W. Scherer|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ブロック下三角構造を持つネストされた相互接続における、直接的なLMIベースの状態空間解法を提示する。この手法により、事前に固定されたコントローラー次数と次元が保証される。リカッチ方程式に基づく手法やユオラパrametrizationの限界を克服し、構造的プロジェクション補題とコントローラー次数の拡張を活用することで、この文脈において初めて正確な最適合成が達成される。

ABSTRACT

If imposing general structural constraints on controllers, it is unknown how to design $H_\infty$-controllers by convex optimization. Under a so-called quadratic invariance structure of the generalized plant, the Youla parametrization allows to translate the structured synthesis problem into an infinite-dimensional convex program. Nested interconnections that are characterized by a standard plant with a block-triangular structure fall into this class. Recently it has been shown how to design optimal $H_2$-controllers for such nested structures in the state-space by solving algebraic Riccati equations. In the present paper we provide a state-space solution of the corresponding output-feedback $H_\infty$ synthesis problem without any counterpart in the literature. We argue that a solution based on Riccati equations is - even for state-feedback problems - not feasible and we illustrate our results by means of a simple numerical example.

研究の動機と目的

• 一般の構造的制約下での $H_\infty$-最適制御のための直接的状態空間手法の欠如に取り組む。
• 状態フィードバック設定ですら、構造的 $H_\infty$ 問題に対してリカッチ方程式アプローチが不適切であることを克服する。
• ブロック下三角構造を持つ出力フィードバック $H_\infty$ 制御のための凸的かつ数値的に取り扱いやすい解法を提供する。
• 反復的精錬や高次元部分空間の使用を回避するため、事前にコントローラー次数と問題次元を指定可能にする。
• $H_2$-最適状態空間解法をネストされた相互接続における $H_\infty$-最適制御に一般化する。

提案手法

• 下三角構造の制御チャネルとネストされた相互接続構造を持つ一般化プラントを用いて、構造的 $H_\infty$ 制御問題を定式化する。
• 構造的プロジェクション補題を適用し、必要なコントローラー構造を満たす凸的LMI定式化を導出する。
• コントローラーのMcMillan次数を一般化プラントの次数を上回るようにする設計フレームワークを導入し、余分な動的要素を介して構造的制約を強制可能にする。
• 固定次元の有限次元LMI系を解くことでコントローラーを構築し、計算の取り扱いやすさと事前にコントローラー次数の上限を保証する。
• LMIフレームワークを活用して、収束性と次元の問題を伴うユオラパrametrizationへの依存を回避する。
• 反復的拡張長が増加するユオラパラメータ化設計と比較する数値例を通じて、手法の有効性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブロック下三角構造を持つネストされた相互接続に対して、直接的な状態空間解法を用いた $H_\infty$-最適出力フィードバック制御を構築することは可能か？
• RQ2 凸最適化を用いて、事前に固定された次数と次元を持つ構造的 $H_\infty$ コントローラーを設計することは可能か？
• RQ3 なぜこの構造的設定において、リカッチ方程式に基づく手法は状態フィードバックでも不適切なのであろうか？
• RQ4 プラントのMcMillan次数を超えてコントローラーの動的次数を拡張することで、構造的制約を強制するにはどうすればよいか？
• RQ5 LMIフレームワークを用いて、反復的ユオラパラメータ化に依存せずに正確な最適性を達成することは可能か？

主な発見

• 提案されたLMIベースの手法は、ブロック下三角構造下での $H_\infty$-最適出力フィードバック制御に対する、初めての直接的状態空間解法を提供する。文献において類似のものはない。
• 最適コントローラーは、$n$ をプラントの次数、$p$ をネストされたブロック数としたとき、最大で $np$ のMcMillan次数で構築可能であり、$H_2$-最適合成から知られている既知の境界と一致する。
• 本手法により、反復的部分空間拡張を用いるユオラベースの手法とは異なり、事前にコントローラー次数と問題次元を指定可能になる。
• 数値結果から、新しい手法は非構造的コントローラーと同等の最適 $H_\infty$ パフォーマンス（$\gamma_{\rm full} = \gamma_{\rm str}$）を達成し、構造的制御則を維持していることが示された。
• G^2_- において、$l=8$ のユオラパラメータ化では $\rho \in [-0.2, 0]$ の範囲で近似品質が著しく劣るが、本手法では低コストで正確な最適性を達成している。
• 特に $G^2_+$ においては、$\gamma_{\rm str} > \gamma_{\rm full}$ であり、$l=8$ でもユオラ近似誤差が依然として顕著であるため、本手法は精度と計算時間の両面でユオラベース設計を上回っている。