[論文レビュー] Structures de Jacobi sur une variété des points proches

Basile Guy Richard Bossoto|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アンドレ・ヴェイの意味における局所代数 $A$ と滑らかでパラコンパクトな多様体 $M$ に関連する無限に近い点の多様体 $M^A$ における $A$-ヤコビ構造を定義し、その性質を研究する。$(M, \alpha, \omega)$ が局所的にコンフォールリーシンプレクティック多様体であるならば、$\mathfrak{X}(M^A)$ 上の $A$-リー＝リネルト＝ヤコビシンプレクティック構造を介して $C^{\infty}(M^A, A)$ に誘導される構造は、元の $M$ 上のヤコビ構造を拡張する well-defined な $A$-ヤコビ代数をなすことが示される。

ABSTRACT

We consider a local algebra A (in the sense of André Weil), M a smooth paracompact manifold and M^{A} the manifold of infinietly near points on M of kind A. In this paper, we define and study the notions of A-Jacobi structures on M^{A}.

研究の動機と目的

• 滑らかでパラコンパクトな多様体 $M$ の無限に近い点の多様体 $M^A$ における $A$-ヤコビ構造を定義し、その性質を調査すること。
• 局所代数 $A$ の枠組みを用いて、$M$ 上のヤコビ構造を $M^A$ 上に一般化すること。
• $M$ 上の局所的にコンフォールリーシンプレクティック構造と $M^A$ 上の $A$-ヤコビ構造との間の対応関係を確立すること。
• $\mathfrak{X}(M^A)$ 上の $A$-リー＝リネルト＝ヤコビシンプレクティック構造から、$C^{\infty}(M^A, A)$ 上の $A$-ヤコビ構造が自然に導かれることが示されること。
• $M^A$ 上の $A$-ヤコビ括弧が、自然な引き戻し写像 $f \mapsto f^A$ を通じて元の $M$ 上のヤコビ括弧を拡張すること。

提案手法

• $A$ が有限次元の局所 $\mathbb{R}$-代数で、1次元余次元の唯一の極大イデアルを持つことから、$M$ のタイプ $A$ の無限に近い点の多様体 $M^A$ を用いる。
• $M^A$ 上の $A$-値滑らか関数の代数 $C^{\infty}(M^A, A)$ を構成し、これは可換単位的 $A$-代数となる。
• $\mathfrak{X}(M^A)$ 上の誘導された $A$-リー＝リネルト＝ヤコビシンプレクティック構造を用いて、$C^{\infty}(M^A, A)$ 上の $A$-ヤコビ構造を定義する。これにはシンプレクティック形式 $\omega^A$ と1次形式 $\alpha^A$ を用いる。
• 特に、$A$-線形微分作用素と1次以下の作用素の拡張を用いて、リー＝リネルト代数およびそのヤコビ拡張の理論を適用する。
• 自然なリフト写像 $f \mapsto f^A$ を用いて、$C^{\infty}(M)$ から $C^{\infty}(M^A, A)$ へ構造を移す。これにより、$A$-加群構造と整合性が保たれる。
• $A$-微分作用素の概念と、$C^{\infty}(M^A)$ 上への一意的拡張 $\widetilde{X}$ を用い、元の微分作用素 $C^{\infty}(M)$ 上での作用と $A$-加群作用に整合するようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体 $M$ の無限に近い点の多様体 $M^A$ 上に $A$-ヤコビ構造をどのように定義できるか。
• RQ2 $M$ 上の局所的にコンフォールリーシンプレクティック構造と $M^A$ 上に誘導される $A$-ヤコビ構造との関係は何か。
• RQ3 $C^{\infty}(M^A, A)$ 上の $A$-ヤコビ括弧は、元の $C^{\infty}(M)$ 上のヤコビ括弧を拡張するか。
• RQ4 $M^A$ 上の $A$-微分作用素と $C^{\infty}(M)$ 上の微分作用素との関係は何か。また、それらは $C^{\infty}(M^A, A)$ 上にどのようにリフトされるか。
• RQ5 $\mathfrak{X}(M^A)$ 上の $A$-リー＝リネルト＝ヤコビシンプレクティック構造がシンプレクティックであるための条件は何か。また、これにより $A$-ヤコビ代数にどのような意味が生じるか。

主な発見

• $C^{\infty}(M^A, A)$ 上の $A$-ヤコビ構造は、$A$-リー＝リネルト＝ヤコビシナプティック構造 $\left(\mathfrak{X}(M^A), \rho_{\alpha^A}, \omega^A\right)$ を介して定義され、$\omega^A$ は $A$-捩れ微分 $d_{\alpha^A}^A$ に関して非退化かつ閉じている。
• $(M, \alpha, \omega)$ が局所的にコンフォールリーシンプレクティックであるならば、$\left(\mathfrak{X}(M^A), \rho_{\alpha^A}, \omega^A\right)$ は $A$-リー＝リネルト＝ヤコビシナプティック構造である。
• $C^{\infty}(M^A, A)$ 上の $A$-ヤコビ括弧は、$\{F, G\}_{\omega^A} = -\omega^A(X_F, X_G)$ で与えられ、ここで $X_F$ は $F$ に付随するハミルトニアンベクトル場である。
• $f \in C^{\infty}(M)$ に対して、$M^A$ 上の $f^A$ に付随するハミルトニアンベクトル場は $X_{f^A} = (X_f)^A$ を満たし、これによりリフト写像と整合性が保たれる。
• $A$-ヤコビ括弧は $\{f^A, g^A\}_{\omega^A} = \{f, g\}^A$ を満たすため、$M^A$ 上の $A$-ヤコビ構造が元の $M$ 上のヤコビ構造を拡張することが証明される。
• この構成により、$M$ 上のヤコビ構造が $M^A$ 上に自然な $A$-線形拡張として得られ、元の構造の代数的および幾何的性質が保たれる。