[論文レビュー] Structures of cobordism-like modules induced from generic maps of codimension -2

Naoki Kitazawa|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、codimension -2 の一般な滑らかな写像によって誘導されるコボルディズムに類似した加群の代数的構造を、Reeb-三角形可能写像に焦点を当てて調査する。ハンドル付加と接着技術を用いて明示的なモース写像および折りたたみ写像を構成することで、これらの加群が非常に高い柔軟性を示すことを示している。具体的には、加群内の任意の元が、このような写像の逆像構造として実現可能であることを示している。主な貢献は、codimension -2 におけるこれらの加群の構造的柔軟性の定理である。

ABSTRACT

The Reeb space of a smooth map whose codimension is minus is the space defined as the space of all connected components of inverse images. For generic maps such as Morse functions and their higher dimensional versions, they are polyhedra whose dimensions are equal to those of the target manifolds and which have simplicial structures compatible with (the canonical) simplicial structures of the source and the target manifolds, and in considerable cases they inherit fundamental and important invariants of source manifolds. In fact, Reeb spaces are fundamentall tools in the algebraic and differential topological theory of generic maps or the global singularity theory. As one of studies of global topological properties of Reeb spaces, Hiratuka and Saeki showed in 2013 that for generic maps or more precisely, maps compatible with simplicial structures of the manifolds, inducing simplicial structures on the Reeb spaces and having connected components of inverse images of regular values being not null-cobordant, the top-dimensional homology groups with appropriate coefficient rings of the Reeb spaces do not vanish. Later the author extended this theorem: the author has introduced cobordism-like groups based on adjacent relations of connected components of inverse images of regular values and shown a similar theorem.

研究の動機と目的

• codimension -2 の一般写像によって誘導されるコボルディズムに類似した加群の代数的構造を調査すること。
• Reeb空間と零コボルディズムに関する先行研究を、負のcodimensionを持つより広いクラスの写像へと拡張すること。
• 加群構造が柔軟であることを示すこと、つまり、任意の元が適切な写像の逆像構造として実現可能であることを示すこと。
• 新しい滑らかな写像の構成を用いて、向き付きおよび向きなしコボルディズム不変量に関する先行結果を一般化すること。
• 多様体上の明示的な幾何学的・位相的操作を通じて、加群の任意の元を実現するための枠組みを確立すること。

提案手法

• PL 構造と整合する Reeb 空間を持つ、モース関数および折りたたみ写像の一般化である Reeb-三角形可能写像を用いる。
• 境界成分を所望の構造に変更し、望ましい逆像構造を達成するために、ハンドル付加（1-および2-ハンドル）を用いて多様体上に局所的なモース写像および折りたたみ写像を構成する。
• 局所写像を閉多様体 $N$ 上のグローバル写像に結合するために接着技術を用い、元の多様体が連結のままであることを保証する。
• 局所写像の像の補集合上に自明なバンドル拡張を適用することで、逆像構造を保ちつつ写像をグローバルに拡張する。
• 1次元の結果を高次元の標的（$n > 1$）へ一般化するために、$S^{n-1}$ 上の恒等写像との積構成を用いる。
• 適切な境界構成とハンドル付加により、加群の任意の生成子を実現可能とする、鍵となる補題（補題1）に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 codimension -2 のコボルディズムに類似した加群の任意の元が、一般な滑らかな写像の逆像構造として実現可能か？
• RQ2 所望の逆像成分を有するような写像を構成するために、十分な幾何学的・位相的操作は何か？
• RQ3 Reeb-三角形可能写像および折りたたみ写像の文脈において、加群構造の柔軟性はどのように現れるか？
• RQ4 非向き付きまたは実射影空間の場合の要素の実現における制限は何か。障害が生じる理由は何か？
• RQ5 ハンドル付加および局所写像の接着を通じて、加群構造をどの程度制御可能か？

主な発見

• codimension -2 におけるコボルディズムに類似した加群は、柔軟性を持つ：加群内の任意の元が、Reeb-三角形可能写像の逆像構造として実現可能である。
• 1-および2-ハンドルを用いた明示的構成により、境界成分を任意の所望の構造（連結で閉じた向き付き曲面）に変換可能である。
• 閉多様体 $N$ 上に、局所的なモースまたは折りたたみ写像を接着し、像の補集合上で自明に拡張することで、グローバルな写像を構成可能であり、望ましい逆像構造を保つ。
• $n > 1$ の場合、$S^{n-1}$ 上の恒等写像との積構成により、1次元の結果が一般化可能であり、画像に特徴的な $n$-次元円板近傍（特異値集合の近傍）が含まれることを保証する。
• 非向き付きの場合（例：${ mf N}_2({f R})$）における要素の実現の障害は、${f R}P^2$ のような非零コボルディズムな多様体が、このような構成において逆像として実現できないことに起因する。
• 証明は、任意の生成子が、正負の係数をもつ球面の組み合わせとして表現可能であり、対称的な局所写像と境界の接着により実現可能であることを示す、鍵となる補題に依拠している。