[論文レビュー] Studies in Similarity

Christopher Bradley|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Mathematics and Applications参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、三角形の頂点、垂心、およびブロカール点から導かれる9つの円を調査し、それらの中心が元の三角形にそれぞれ相似である6つの三角形を形成することを示している。そのうち3つは直接相似、残り3つは間接相似である。間接相似の3つの三角形は、外心をパースペクターとして互いに透視関係にあり、垂心重心円と面積座標とに関連する深い幾何的対称性を示している。

ABSTRACT

Three circles define each of the Brocard points of a triangle. If one adds the three circles through a pair of vertices and the orthocentre one has nine circles. It is described how each of the nine centres of these circles lies at the vertex of two triangles producing six triangles. These triangles are each similar to the original triangle, three being directly similar and three indirectly similar. These latter three are mutually in perspective with the circumcentre as perspector.

研究の動機と目的

• 頂点のペアと重要な三角形の中心（垂心、ブロカール点、および3つの新規点 aH, bH, cH）からなる9つの円を特定・特徴付けること。
• 9つの円の中心の幾何的および代数的性質、および平面上での配置を同定すること。
• これらの9つの中心が、元の三角形ABCにそれぞれ相似である6つの三角形を形成することを証明すること。そのうち3つは直接相似、3つは間接相似である。
• 間接相似の3つの三角形が、共通のパースペクターとして外心Oを共有することを確立すること。
• これらの発見を、特にハッジ円とウッドの分類に関連して、三角形幾何学における直接および間接相似の広範な枠組みに統合すること。

提案手法

• 面積座標を用いて、9つの円の式を導出する。3つは垂心Hを通る（BHC, CHA, AHB）、3つはブロカール点H+を通る（AH+B, BH+C, CH+A）、残り3つはH−を通る（AH−B, BH−C, CH−A）。
• 直線∞の極を用いて、これらの9つの円の中心を計算し、各中心の非正規化面積座標を導出する。
• 点aH, bH, cHは、中線と垂心重心円（直径GH）の第二交点として特定され、その面積座標を代数的に導出する。
• 面積座標の計量を用いて、中心間の距離の2乗を計算し、元の三角形の辺長の2乗に比例することを示し、相似性を証明する。
• 三角形cA aB bC、aA aB aCなどの中心からなる三角形が、(辺1)² ∝ a²、(辺2)² ∝ b²、(辺3)² ∝ c² を満たすことを示し、ABCと相似であることを確認する。
• 中心aA, bB, cCからなる3つの三角形が、外心Oをパースペクターとして互いに透視関係にあり、共線性および共点性の議論を用いてそれを裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 頂点のペアと垂心、ブロカール点、および3つの新規点aH, bH, cHを通過する9つの円の中心どうしの幾何的関係は何か？
• RQ2 これらの9つの中心からなる6つの三角形の性質は何か？また、元の三角形ABCとの相似関係はどのように関係しているか？
• RQ3 中心aA, bB, cCからなる3つの三角形がなぜABCに対して間接相似であり、かつ外心Oを共通のパースペクターとして互いに透視関係にあるのか？
• RQ4 垂心重心円は、点aH, bH, cHの特定および9円配置の統合に果たす役割は何か？
• RQ5 これらの配置は、特にハッジ円とウッドの枠組みに関連して、三角形幾何学における直接および間接相似の広範な理論にどのように統合されるか？

主な発見

• H, H+, H−を通過する9つの円の中心は、元の三角形ABCにそれぞれ相似である6つの三角形の頂点を形成する。そのうち3つは直接相似、3つは間接相似である。
• 間接相似の3つの三角形は、外心Oをパースペクターとして互いに透視関係にあり、中心からOへの対応する直線の共線性により確認された。
• 点aH, bH, cHは垂心重心円（直径GH）上にあり、その面積座標はそれぞれ aH(a², b² + c² – a², b² + c² – a²)、bH(c² + a² – b², b², c² + a² – b²)、cH(a² + b² – c², a² + b² – c², c²) である。
• 中心間の距離の2乗は、元の三角形の辺長の2乗に比例し、相似性が確認される：(bC aB)² = k a²、(cA bC)² = k b²、(aB cA)² = k c²（kはスカラー）。
• 三角形aA aB aC、bA bB bC、cA cB cCはすべてABCおよび互いに直接相似であり、面積比l : m : n（l, m, nは辺長の式から導出）を有する。
• 中心aA, bB, cCからなる3つの三角形は互いに透視関係にあり、面積座標計量による計算により(aB aC)² ∝ a²、(aC aA)² ∝ b²、(aA aB)² ∝ c² が成り立つことから、相似性が裏付けられる。