[論文レビュー] Study of Optimization Problems by Quantum Annealing

Tadashi Kadowaki|ArXiv.org|May 5, 2002

Advancements in Semiconductor Devices and Circuit Design参考文献 11被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、イジング模型における横磁場を介して、シミュレーテッド・アニーリングにおける熱的揺らぎを量子揺らぎに置き換えることで、量子アニーリングを新しい最適化手法として導入する。時間に依存するシュレーディンガー方程式を数値的に解き、量子モンテカルロシミュレーションを用いることで、スピンガラスモデル（イジング模型や巡回セールスマン問題を含む）において、量子アニーリングが古典的シミュレーテッド・アニーリングよりも顕著に高い基底状態確率と高速な収束を達成することを示している。

ABSTRACT

We introduce quantum fluctuations into the simulated annealing process of optimization problems, aiming at faster convergence to the optimal state. The idea is tested by the two models, the transverse Ising model and the traveling salesman problem (TSP). Adding the transverse field to the Ising model is a simple way to introduce quantum fluctuations. The strength of the transverse field is controlled as a function of time similarly to the temperature in the conventional method. TSP can be described by the Ising spin, so that we also apply the same technique to TSP. We directory solve the time-dependent Schrödinger equation for small-size systems and perform the quantum Monte Carlo simulation for large-size systems. Comparison with the results of the corresponding classical (thermal) method reveals that the quantum method leads to the ground state with much larger probability in almost all cases if we use the same annealing schedule of the control parameters. We also find that the relaxation time is quite short for quantum systems by numerical simulations. We consider this is one of the reasons why the annealing in quantum systems have a better performance of finding the optimal state in comparison with classical systems.

研究の動機と目的

• 量子揺らぎが、古典的熱揺らぎと比較して最適化問題における基底状態への収束を加速できるかどうかを調査すること。
• 時間に依存する量子揺らぎを伴う横磁場イジング模型に基づく量子アニーリングフレームワークを構築し、検証すること。
• 正確な数値解法と量子モンテカルロ法を用いて、量子アニーリングと古典的シミュレーテッド・アニーリングの性能を比較すること。
• 巡回セールスマン問題のような一般のNP困難最適化問題へ、イジングスピン系への写像を用いて量子アニーリング手法を拡張すること。
• 緩和時間と制御パラメータのスケジューリングが、量子アニーリングの効率に与える役割を分析すること。

提案手法

• 時間に依存する横磁場をイジングハミルトニアンに追加することで、アニーリングプロセスに量子揺らぎを導入し、熱雑音の代わりに量子トンネル効果を用いる。
• 強磁性、フラストレーションを示す、およびランダムなイジング相互作用を有する小規模系に対して、時間に依存するシュレーディンガー方程式を数値的に解く。
• 経路積分形式を用いた量子モンテカルロ法を適用し、虚時間のトロッター断片化を用いて大規模系をシミュレートする。
• 時間とともに線形に減少する横磁場強度を用い、古典的アニーリングの冷却に類似したプロセスを採用し、系を基底状態へ誘導する。
• 巡回セールスマン問題をイジングスピンガラスハミルトニアンに写像することで、一般のNP困難最適化問題への適用を検証する。
• 断熱条件を用いて、系が瞬間的な基底状態にとどまるようにし、非断熱遷移を最小限に抑える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 横磁場イジング模型における量子揺らぎは、スピンガラス系の基底状態を求める際に、古典的熱揺らぎを上回ることができるか？
• RQ2 同一のアニーリングスケジュール下で、量子アニーリングの性能は古典的シミュレーテッド・アニーリングと比べてどうなるか？
• RQ3 緩和時間は量子アニーリングの効率に果たす役割は何か？収束速度にどのように影響するか？
• RQ4 巡回セールスマン問題のような一般の最適化問題へ、イジングスピンへの写像を用いて、量子アニーリングを効果的に適用できるか？
• RQ5 横磁場の制御スケジュール（例：線形、逆時間）の違いが、最終状態の状態分布と成功確率に与える影響は何か？

主な発見

• 同じアニーリングスケジュールを用いた場合、量子アニーリングは古典的シミュレーテッド・アニーリングよりも顕著に高い基底状態到達確率を達成する。
• 小規模系の数値シミュレーションでは、特にフラストレーションを示すおよびランダムなイジング模型において、量子アニーリングにより基底状態への到達精度が著しく向上することが示された。
• 大規模系における量子モンテカルロシミュレーションは、正確な解法の結果を裏付け、量子アニーリングがスケールアップ時においても優れた性能を維持することを示している。
• 量子系における緩和時間は非常に短いことが判明し、これが収束の高速化と最適化効率の向上に寄与している。
• 巡回セールスマン問題においても、量子アニーリングは横磁場イジング模型と同様に高速な収束と高い成功確率を達成した。
• 励起状態にとどまる最終確率は $ \sim h^2 / (64c^4) $ に比例して減少することが判明し、横磁場の変化を遅くすることで断熱性と成功確率が向上することが示された。