[論文レビュー] Study of the Wheeler Propagator

C. G. Bollini, M. C. Rocca|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2010

advanced mathematical theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の質量（実数、虚数、複素数）をもつクライン=ゴルドン場のための半進み・半遅れのグリーン関数であるウェーラー propagator を検討し、その場が質量殻上での伝播を有さず、光円錐内でのみ仮想的プロセスを支持することを示している。質量の種別に関わらず摂動的ユニタリティが保たれることを証明し、ウェーラー propagator に関連する対称的真空が量子場理論における因果律とユニタリティを保つことを示しており、閉じ込められた場やタキオン的場に対して一貫した枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study the half advanced and half retarded Wheeler Green function and its relation to Feynman propagators. First for massless equation. Then, for Klein-Gordon equations with arbitrary mass parameters; real, imaginary or complex. In all cases the Wheeler propagator lacks an on-shell free propagation. The Wheeler function has support inside the light-cone (whatever the mass). The associated vacuum is symmetric with respect to annihilation and creation operators.

研究の動機と目的

• 質量パラメータが実数、虚数、または複素数である場合の質量ゼロおよび質量のあるクライン=ゴルドン場におけるウェーラー propagator の構造と性質を分析すること。
• ウェーラー propagator が光円錐内でのみ仮想的伝播を支持し、漸近的自由波を有さないことを確立すること。
• タキオン的場や複素質量場に propagator を用いても、摂動的ユニタリティが保たれることを示すこと。
• ウェーラー propagator に関連する対称的真空の物理的解釈と、場の量子化に与える影響を調査すること。
• 高次の微分方程式を含むモデル、タキオン、ヒッグス機構など、自由粒子が観測されない系への応用を同定すること。

提案手法

• フェ Feynman と反フェ Feynman propagator の平均としてウェーラー propagator を導出し、$ G(p) = \frac{1}{2}G_+(p) + \frac{1}{2}G_-(p) $ とすることで、質量殻上でのコーシー主値と一致することを保証する。
• フーリエ変換とボッハナーの定理を用い、p空間におけるグリーン関数をハンケル変換に還元し、次元パラメータ $ \nu $ に依存する解析的依存性を有するx空間における畳み込みを可能にする。
• propagator のx空間における振る舞いを分析し、すべての質量タイプに対して、$ Q = x_\mu x^\mu < 0 $ の光円錐内でのみ非ゼロであることを示す。
• 対称的真空における生成・消滅演算子から生成されるフォック空間の不定計量を扱うために、正則表現を適用する。
• 2つのウェーラー propagator の畳み込みが、再びウェーラー propagator となることを確立し、その質量殻部分が $ \delta(P + m^2) $ 関数の畳み込みと一致することを示す。
• propagator を急減少する実軸上での整関数にまで定義域を拡張可能な、緩やかな超分布として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェーラー propagator は、複素数や虚数質量を含む任意の質量パラメータを持つクライン=ゴルドン場に対してどのように振る舞うか？
• RQ2 ウェーラー propagator が質量殻上での自由伝播を欠いていることにより、因果律やユニタリティが破れるのか？
• RQ3 ウェーラー propagator に関連する真空状態の構造は何か？ そして、標準的フェインマン真空とはどのように異なるか？
• RQ4 タキオンや高次の微分方程式を含む場の理論において、ウェーラー propagator をユニタリティを損なわずに一貫して使用できるか？
• RQ5 自由粒子として観測されない場（例えばヒッグス場や高次の微分型場）に対してウェーラー propagator を用いると、物理的意味にどのような影響が生じるか？

主な発見

• ウェーラー propagator は、実数、虚数、複素数のすべての質量パラメータに対して、光円錐内でのみ伝播を支持する。
• propagator は質量殻上でゼロとなるため、自由な質量殻伝播を有さず、観測可能な自由粒子の不在と整合的である。
• 外部線に通常の粒子のみが現れる場合、内部 propagator がウェーラー関数であっても、摂動的ユニタリティが保たれる。
• ウェーラー propagator に関連する対称的真空は、生成・消滅演算子の対称的組み合わせからなる「真のエネルギー」演算子によって消滅する。
• 2つのウェーラー propagator の畳み込みは再びウェーラー propagator となり、その質量殻部分は対応する $ \delta(P + m^2) $ 関数の畳み込みと一致する。
• propagator は数学的に、緩やかな超分布としてwell-definedであり、運動量空間における指数関数的増加関数まで定義域を拡張可能である。