[論文レビュー] Sturm Liouville Equations in the frame of fractional operators with Mittag-Leffler kernels and their discrete versions

Raziye Mert, Thabet Abdeljawad+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続的および離散的（nabla）設定において、Mittag-Leffler核を有するAtangana-Baleanu分数階微分を用いた分數Sturm-Liouville方程式（SLE）を導入し、分析する。これらの作用素に対する部分積分公式を用いることで、自己随伴性、実固有値、直交固有関数を確立し、特異性のない分数階作用素を用いた古典的SLE理論を拡張し、数値的性質を改善する。

ABSTRACT

Very recently, some authors have studied new types of fractional derivatives whose kernels are nonsingular. In this article, we study Sturm-Liouville Equations ($SLEs$) in the frame of fractional operators with Mittag-Leffler kernels. We formulate some Fractional Sturm-Liouville Problems ($FSLPs$) with the diffferential part containing the left and right sided derivatives. We investigate the self-adjointness, eigenvalue and eigenfunction properties of the corresponding Fractional Sturm-Liouville Operators ($FSLOs$) by using fractional integration by parts formulas. The nabla discrete version of our results are also established.

研究の動機と目的

• 古典的Sturm-Liouville理論を特異性のないMittag-Leffler核を有する分數作用素へ拡張すること。
• 左および右片側のABRおよびABC分數微分を用いた分數Sturm-Liouville問題（FSLP）を定式化すること。
• 対応する分數Sturm-Liouville作用素（FSLO）の自己随伴性、固有値、固有関数の性質を確立すること。
• 連続的FSLPフレームワークの離散的（nabla）類似物を構築すること。
• α ∈ (1, 3/2) の高階離散的FSLPに関する未解決問題を提示し、α → 1⁺ の極限で通常の差分方程式に回復する可能性を示唆すること。

提案手法

• Mittag-Leffler核を有する左および右片側のABRおよびABC分數微分を用いて連続的FSLPを定式化する。
• 文献[24, 33]から導出された分數部分積分公式を適用し、自己随伴性および固有構造を分析する。
• 離散的（nabla）FSLPをnabla ABRおよびABC分數差分と離散的Mittag-Leffler核を用いて定義する。
• 定理4における離散的部分積分を用いて、離散的設定における固有値および固有関数の性質を証明する。
• 一般化されたMittag-Leffler関数 $ E^{ ho}_{eta,eta}(z) $ を用いて分數作用素およびその逆作用素を表現する。
• 高階分數差分（α ∈ (1, 3/2)）とパラメータ変換を介した2階差分との間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的状況において、Mittag-Leffler核を有するABRおよびABC分數微分を用いた分數Sturm-Liouville問題を定式化できるか？
• RQ2 その結果得られる分數Sturm-Liouville作用素は、自己随伴性、実固有値、直交固有関数を示すか？
• RQ3 連続的フレームワークを、類似の性質を持つ離散的（nabla）設定に拡張できるか？
• RQ4 α → 1⁺ のとき、離散的FSLPの挙動はどのように変化するか？ また、古典的離散SLEに回復可能か？
• RQ5 α ∈ (1, 3/2) のABRおよびABC分數差分に対して、部分積分公式が利用可能か？ これにより高階離散的FSLPのスペクトル解析が可能になるか？

主な発見

• 連続的分數Sturm-Liouville作用素 $ {}^{C}L_1 $ は内積 $ \braket{f,g} = \frac{1}{B(\beta)}\braket{f,g}_{L^2} $ に関して自己随伴であり、実固有値を保証する。
• 連続的FSLPの固有値は、部分積分および作用素 $ {}^{C}L_1 $ の自己随伴性により、実数であることが証明された。
• 異なる固有値に対応する固有関数は重み関数 $ r(t) $ に関して直交し、$ \nu_1 \neq \nu_2 $ のとき $ \braket{x_{\nu_1}, x_{\nu_2}} = 0 $ を満たす。
• 定義域 $ \mathbb{N}_{a,b} $ 上の離散的FSLPのバージョンにおいても、内積 $ \braket{f,g} = \sum_{t=a+1}^{b} r(t)f(t)g(t) $ に関して実固有値および直交固有関数が得られる。
• 離散的作用素 $ {}^{dC}L_1 $ は自己随伴であり、その固有関数は重み $ r(t) $ に関して直交する。これは離散的部分積分により示された。
• 未解決問題として提示：α ∈ (1, \frac{3}{2}) のABRおよびABC分數差分に対して、部分積分公式を確立できるか？ これにより高階離散的FSLPのスペクトル解析が可能になるか？