[論文レビュー] Sturm-Liouville operators with distributional potentials

А. М. Савчук, А. А. Шкаликов|ArXiv.org|Jan 9, 2003

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$W_2^{-1}$ 内の分布的ポテンシャルを持つ Sturm-Liouville 作用素について、$L_1$-係数をもつ1階系に変換することで特異問題を扱える厳密な枠組みを構築する。主な貢献は、ポテンシャルが関数ではなく分布である場合でも、一般化された Weyl-Titchmarsh 理論を用いてその作用素の存在および自己共役性を確立することであり、特異的で滑らかでないポテンシャルへのスペクトル理論の拡張がなされる。

ABSTRACT

In this paper we propose four different methods to determine Sturm-Liouville operator on an interval $(a,b)$ in case, when a potential $q(x)$ is a distribution from the Sobolev space with negative index of smoothness, i.e. (q\in W_2^{-θ}), where (θ\le 1). The main and second terms of asymptotic series for eigenvalues and eigenfunctions of these operators are obtained and the remaining terms are estimated depending on the class of smoothness of potential /(q/). Particular families of potentials, not belonging to the space (W_2^{-1}) are studied as well.

研究の動機と目的

• $W_2^{-1}$ 内のポテンシャル、例えば $|x|^{-1}$ や $\delta$-関数を含む、負の順位ソボレフ空間における Sturm-Liouville 作用素のスペクトル理論を拡張すること。
• $q(x)$ が局所可積分関数でないが $W_2^{-1}$ 内の分布である場合に、微分作用素 $-y'' + q(x)y$ を定義・解析する課題を解決すること。
• 境界条件を用いてこのような作用素の自己共役実現を構成し、リゾルベントおよびスペクトル測度の存在を証明すること。
• 変換によって得られる $L_1$-係数1階系を用いて、ポテンシャルが特異な場合の解およびスペクトルデータを体系的に構成する方法を提供すること。

提案手法

• $q(x)$ を分布的ポテンシャルとするとき、$u(x)$ を $q(x)$ の積分とし、準微分 $y^{[1]} = y' - u(x)y$ を導入することで、2階 Sturm-Liouville 方程式を1階系に変換する。
• 変換された系の最大実現 $L_M$ を定義し、その定義域 $\mathfrak{D}(L_M)$ を $y, y^{[1]} \in W_1^1$ かつ $L_M y \in L_2$ を満たす関数 $y$ の集合とする。
• $L_1$-係数をもつ1階系の理論を用いて、解の存在および一意性を証明する。滑らかな係数による近似と $L_1$ 内の収束に依存する。
• 系の基本解を用いて $L_M$ のリゾルベントを確立し、モノドロミー行列から Weyl-Titchmarsh $M$-関数を導出する。
• $U_j(y) = 0$（$j=1,2$）という境界条件により、$L_M$ の自己共役拡張 $L$ を構成する。ここで $U_j$ は $y(0), y(\pi), y^{[1]}(0), y^{[1]}(\pi)$ の線形結合である。
• 特性行列式 $\Delta(\lambda)$ の解析により、このような拡張に対してスペクトル測度および固有値が適切に定義されることを証明する。$\Delta(\lambda)$ は整関数であり、特定の領域で零点を持たない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル $q(x)$ が $W_2^{-1}$ に属する場合、$\delta$-関数 や $|x|^{-1}$ を含む特異的分布を含む空間に属する場合に、Sturm-Liouville 作用素をどのように厳密に定義できるか。
• RQ2 $q(x)$ が関数でない場合に、準微分 $y^{[1]}$ および関連する1階系を正しく定義する方法は何か。
• RQ3 どのような境界条件の下で作用素 $L$ が自己共役かつ離散スペクトルを持つのか。
• RQ4 $L_1$-係数系のアプローチを用いて、分布的ポテンシャルを持つ作用素のスペクトル理論（固有値、固有関数、スペクトル測度）を拡張できるか。
• RQ5 特異的ポテンシャルを正則なもので近似する際、解およびスペクトルデータの収束にどのような影響があるか。

主な発見

• $L_M$ は $L_2(0,\pi)$ 上で適切に定義され、その定義域は $y, y^{[1]} \in W_1^1$ かつ $L_M y \in L_2$ を満たす関数 $y$ からなる。
• $\lambda \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$ に対して $L_M$ のリゾルベントが存在し、コンパクト性から離散スペクトルを持つ。
• $L_M$ の任意の自己共役拡張 $L$ に対して、特性行列式 $\Delta(\lambda)$ は1次整関数であり、その零点は $L$ の固有値に対応する。
• スペクトル測度 $d\mu(\lambda)$ は適切に定義され、Lebesgue 測度に関して絶対連続であり、Weyl-Titchmarsh $m$-関数によって与えられる密度を持つ。
• $q(x) = |x|^\alpha$ で $\alpha > -3/2$ のとき、ポテンシャルは $W_2^{-1}$ に属し、対応する作用素は離散スペクトルを持つ自己共役実現を持つ。
• $q(x) = |x|^\alpha$ で $\alpha > -3/2$ のとき、関連するリカッチ方程式 $-w' + w^2 + |x|^\alpha = 0$ の解は、$|x|^{\alpha+1}$ を変数とする形式的べき級数展開をもち、これを切り詰めることで正則化近似を定義できる。