[論文レビュー] SU(2)-Irreducibly covariant and EPOSIC channels

Muneerah Al Nuwairan|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、SU(2)-不変性を満たす量子チャネルのクラスとしてEPOSICチャネルを導入し、すべてのSU(2)-不変性を満たすチャネルのなす凸集合の極点を占める。Kraus表現およびChoi行列を構成し、補完的および双対写像を解析することで、これらのチャネルの線形結合が正であるが完全正定値でない写像を生み出すことを示しており、量子情報理論におけるこのような写像の新たな例を提供する。

ABSTRACT

In this paper we introduce EPOSIC channels, a class of SU(2)-covariant quantum channels. We give their definition, a Kraus representation of them, and compute their Choi matrices. We show that these channels form the set of extreme points of all SU(2)-irreducibly covariant channels. We also compute their complementary channels, and their dual maps. As application of these channel, we get a new example of positive map that is not completely positive.

研究の動機と目的

• SU(2)-不変性を満たす新しいクラスの量子チャネル、EPOSICチャネルを定義し、その特徴を明らかにすること。
• EPOSICチャネルが、すべてのSU(2)-不変性を満たすチャネルのなす凸集合の極点であることを示すこと。
• EPOSICチャネルのKraus表現およびChoi行列を計算すること。
• EPOSICチャネルの補完的および双対写像を解析すること。
• EPOSICチャネルを用いて、正であるが完全正定値でない写像を構成すること。

提案手法

• EPOSICチャネルを、SU(2)の既約表現から生じるSU(2)-不変性を満たすチャネルとして定義する。
• SU(2)のClebsch-Gordan分解を用いて、テンソル積の多重度なし分解を保証し、チャネルの構築を簡素化する。
• 既約包含および群に適合する写像を用いて、EPOSICチャネルのKraus作用素を導出する。
• チャネルと演算子の標準的同型を用いて、EPOSICチャネルのChoi行列を計算する。
• SU(2)-不変性を満たすチャネルの集合が、EPOSICチャネルを極点とする単体をなすことを確立する。
• 表現論的技法および内積構造を用いて、EPOSICチャネルの補完的および双対写像を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(2)-不変性を満たす量子チャネルの構造は何か。また、どのようにパrameter化できるか。
• RQ2 SU(2)-不変性を満たすチャネルの凸集合に極値要素は存在するか。存在するならば、それらの特徴は何か。
• RQ3 このようなチャネルのChoi行列およびKraus表現を明示的に計算できるか。
• RQ4 これらのチャネルの補完的および双対写像の性質は何か。
• RQ5 これらのチャネルから、正であるが完全正定値でない写像を構成できるか。

主な発見

• EPOSICチャネルは、すべてのSU(2)-不変性を満たすチャネルの凸集合の極点である。
• EPOSICチャネルのKraus表現は、既約包含および群に適合する写像を用いて明示的に構成されている。
• EPOSICチャネルのChoi行列は、$ C(\tilde{\rho}_{m,m+1,m}) = \frac{2}{m+2} \eta_{m,1,0} \eta_{m,1,0}^* $ で与えられ、ここで $ \eta_{m,1,0} $ はテンソル積空間内の特定のベクトルである。
• $ m \in \mathbb{N} \setminus \{0\} $ に対して、写像 $ \Phi_{m,m+1,m} - \alpha \Phi_{m,m-1,m-1} $ のChoi行列に負の固有値 $ -\frac{2\alpha}{m} $ が存在し、これが完全正定値でないことを示している。
• $ \Phi_{m,m+1,m} - \alpha \Phi_{m,m-1,m-1} $ は、任意の $ n > 1 $ に対して $ n $-正定値でないため、完全正定値でないことが確認された。
• 本手法により、量子情報理論における既知のクラスを拡張する、正であるが完全正定値でない写像の新たな例が得られた。