[論文レビュー] SU(2)_k Logarithmic Conformal Field Theories

Alexander Nichols|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、可解表現を超えた $SU(2)_k$ WZNW模型を調査し、$SU(2)_0$ を対数的 conformal field theory (LCFT) のモデルとして焦点を当てる。融合によって非分解的表現が生じ、対数的相関関数と拡張されたチャーラル代数が生じることを示している。主な貢献は、拡張された代数を生成するチャーラル場の明示的構成と、量子ハミルトニアン還元による $c=-2$ 三重項模型の同定であり、有理的 $c_{p,q}$ 模型と深い構造的類似性を明らかにしている。

ABSTRACT

We analyse the SU(2)_k WZNW models beyond the integrable representations and in particular the case of SU(2)_0. We find that these are good examples of logarithmic conformal field theories as indecomposable representations are naturally produced in the fusion of discrete irreducible representations. We also find extra, chiral and non-chiral, multiplet structure in the theory. The chiral fields, which we construct explicitly in SU(2)_0, generate extended algebras within the model. We also study the process of quantum hamiltonian reduction of SU(2)_0, giving the c=-2 triplet model, in both the free field approach and at the level of correlation functions. For rational level SU(2)_k this gives us a useful technique to study the h_{1,s} correlators of the c_{p,q} models and we find very similar structures to SU(2)_0. We also discuss LCFT as a limit of a sequence of ordinary CFTs and some of the subtleties that can occur.

研究の動機と目的

• 可解表現を超えた $SU(2)_k$ WZNW模型、特に $SU(2)_0$ を対数的 conformal field theory (LCFT) のフレームワークとして研究すること。
• $SU(2)_0$ における離散的非可約表現の融合によって非分解的表現が生じることを同定すること。
• $SU(2)_0$ におけるチャーラル場を明示的に構成し、それらが拡張されたチャーラル代数を生成する役割を示すこと。
• $SU(2)_0$ の量子ハミルトニアン還元を調べ、$c=-2$ 三重項模型および $c_{p,q}$ 最小模型との関係を明らかにすること。
• 通常の CFT の極限として LCFT がどのように現れるかを調査し、$c=0$ におけるストレステンソルの対数的パートナ−といった微妙な性質を強調すること。

提案手法

• $SU(2)_0$ の Knizhnik-Zamolodchikov (KZ) 方程式を分析し、有理的および対数的解（ダブルットおよびトリプレット場の解を含む）を同定する。
• 自由場表現を用いて $SU(2)_0$ における明示的チャーラル場を構成し（特にスピン $j=1,2,3$ の場合）、それらの作用素積展開（OPE）を検証する。
• 自由場および相関関数の両アプローチを用いて $SU(2)_0$ の量子ハミルトニアン還元を適用し、$c=-2$ 三重項模型への写像を確立する。
• KZ 方程式の有理的解を用いて相関関数を導出し、フェルミオン的場を含む拡張されたチャーラル代数を同定する。
• $SU(2)_0$ と有理的 $c_{p,q}$ 模型の構造を比較し、特に真空のノルムベクトルとフェルミオン的パートナ−の点で類似性を検討する。
• CFT の $c=0$ における極限を調べ、分離可能性とストレステンソルの対数的パートナ−の性質を明らかにし、LCFT における非自明な振る舞いを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SU(2)_0$ WZNW 模型における融合規則は、どのように非分解的表現を生じさせ、CFT における対数的振る舞いを示すのか？
• RQ2 $SU(2)_0$ にどのような拡張されたチャーラル代数が現れ、それらは明示的チャーラル場の構成によってどのように生成されるのか？
• RQ3 $SU(2)_0$ の量子ハミルトニアン還元はどのように $c=-2$ 三重項模型を導き、相関関数はこの過程でどのような役割を果たすのか？
• RQ4 $SU(2)_0$ と有理的 $c_{p,q}$ 模型との間にどのような構造的類似性があるのか、特に相関関数構造とノルムベクトルの内容に関して。
• RQ5 対数的 CFT は通常の CFT の極限としてどのように現れるのか、$c=0$ におけるストレステンソルの対数的パートナ−といった微妙な性質はどのようなものか？

主な発見

• $SU(2)_0$ における $j=1/2$ 表現の融合は非分解的表現を生じさせ、モデルが対数的 CFT であることを確認する。
• $SU(2)_0$ はスピン $j=1,2,3$ に対して KZ 方程式の有理的解を支持し、自由場表現を用いて明示的な相関関数を導出可能である。
• $SU(2)_0$ におけるチャーラル場は拡張された代数を生成し、$j=1$ の場合にフェルミオン的場を含み、それらの OPE には対数的項が現れる。
• $SU(2)_0$ の量子ハミルトニアン還元により $c=-2$ 三重項模型が得られ、相関関数およびノルムベクトルの内容において一致する構造が確認される。
• $c=-2$ 三重項模型は自由場アプローチおよび相関関数アプローチの両方で再現され、両手法の整合性が裏付けられる。
• $c=0$ において、ストレステンソルの対数的パートナ−が現れ、通常の CFT の極限における非自明な振る舞いが示される。