[論文レビュー] Sub-homogeneous positive monotone systems are insensitive to heterogeneous time-varying delays

Hamid Reza Feyzmahdavian, Themistoklis Charalambous+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2014

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 34被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有界で不均一な時変化する遅れを伴う部分均一な正の単調系が、かつての遅れなしの系がグローバル漸近安定である場合に限り、グローバル漸近安定であることを証明している。この結果は、定数遅れへの変換を用いて、定数遅れから時変化遅れへの遅れ不感度の拡張を実現し、単調性と部分均一性の性質を活用して、任意の有界遅れ下での安定性を確立する。

ABSTRACT

We show that a sub-homogeneous positive monotone system with bounded heterogeneous time-varying delays is globally asymptotically stable if and only if the corresponding delay-free system is globally asymptotically stable. The proof is based on an extension of a delay-independent stability result for monotone systems under constant delays by Smith to systems with bounded heterogeneous time-varying delays. Under the additional assumption of positivity and sub-homogeneous vector fields, we establish the aforementioned delay insensitivity property and derive a novel test for global asymptotic stability. If the system has a unique equilibrium point in the positive orthant, we prove that our stability test is necessary and sufficient. Specialized to positive linear systems, our results extend and sharpen existing results from the literature.

研究の動機と目的

• 有界で不均一な時変化する遅れ下での部分均一な正の単調系に対する遅れ不感性を確立すること。
• 定数遅れにおける既存の遅れ独立安定性結果を、単調系における時変化遅れに拡張すること。
• 正の象限に一意の平衡点を有するこのような系に対する必要十分な安定性テストを提供すること。
• 定数遅れを伴う正の線形系および非線形正系に関する先行結果を一般化すること。
• 時変化遅れの存在下で、変換技術と単調性の議論を用いて安定性基準を検証すること。

提案手法

• 時変化遅れを伴う系を、時間スケーリング変換を用いて等価な定数遅れ系に変換する。
• ベクトル場の協同的（メーツラー・ジャコビアン）構造を活用して、軌道の単調性を保証する。
• ベクトル場の部分均一性を応用して解をバインドし、極端な軌道との比較によって収束を確立する。
• ゼロから出発する解と上界から出発する解が両方とも平衡点に収束することを活用して、中間の初期条件をはさみこむ。
• すべての非負の初期条件が一意の平衡点に収束するという事実を示すことにより、グローバル漸近安定性を証明する。
• 正の性質と部分均一性の仮定の下で、遅れなし安定性条件の必要性と十分性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分均一な正の単調系は、有界で不均一な時変化する遅れに対して不感であるか？
• RQ2 定数遅れを伴う単調系の遅れ独立安定性特性を、時変化遅れに拡張できるか？
• RQ3 遅れなし系のグローバル漸近安定性が、任意の有界な時変化遅れ下での安定性にとって必要かつ十分であるか？
• RQ4 部分均一性は、時変化遅れを伴う非線形正系における安定性のロバストネスにどのように寄与するか？
• RQ5 安定性テストは正の線形系に適用可能であり、非線形ケースに一般化可能か？

主な発見

• 有界で不均一な時変化遅れを伴う部分均一な正の単調系は、かつての遅れなしの系がグローバル漸近安定である場合に限り、グローバル漸近安定である。
• この安定性結果は、正の象限に一意の平衡点を有する系に対して成り立ち、テストは必要十分である。
• 証明により、ゼロから出発する軌道と上界から出発する軌道が両方とも平衡点に収束することを示し、これによりすべての中間軌道をはさみこめる。
• 定数遅れ系への変換により、時変化遅れ設定にも遅れ独立安定性結果を適用可能になる。
• この結果は、正の線形系の既存の安定性基準を一般化・強化し、より広範な非線形系のクラスにまで拡張する。
• 部分均一性と正の性質が併せ合わさることで、遅れの変動が標準的証明における単調性を破る場合でさえ、系は任意の有界な時変化遅れ下で安定を保つ。