[論文レビュー] Sub-Planck Structure, Decoherence, and Many-Body Environments

Andrew Jordanand, Mark Srednicki|ArXiv.org|Dec 21, 2001

Quantum many-body systems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Zurekが提唱した、カオス的系におけるサブ・プランクスケール位相空間構造が、微小なずれに対して一般に直交状態を生じるとの主張に挑戦する。Berry-Vorosの仮説と多数粒子系の解析を用いて、少数の自由度では重なりがべき則の減衰を示すリング状の振動を示すが、dが大きい場合には指数関数的減衰に移行し、Zurekの結論が回復される。主な貢献は、このメカニズムによる有効な量子デコherenceを実現するためには多数粒子環境が不可欠であることを確立したことである。

ABSTRACT

In a recent paper [Nature 412, 712 (2001)], Zurek has argued that (1) time evolution typically causes chaotic quantum systems to generate structure that varies on the scale of phase-space volume elements of size $(\hbar^2/A)^d$, where A is a classical action characteristic of the state and d is the number of degrees of freedom, and that (2) this structure implies that a small change in a phase-space coordinate X by an amount $δX \sim \hbar X/A$ generically results in an orthogonal state. While we agree with (1), we argue that (2) is not correct if the number of degrees of freedom is small. Our arguments are based on the Berry-Voros ansatz for the structure of energy eigenstates in chaotic systems. We find, however, that (2) becomes valid if the number of degrees of freedom is large. This implies that many-body environments may be crucial for the phenomenon of quantum decoherence.

研究の動機と目的

• Zurekが主張するように、カオス的系におけるサブ・プランクスケール位相空間構造が、微小なずれに対して直交状態を一般に生じるかどうかを評価すること。
• 微小なずれ δx ∼ ℏ/P または δp ∼ ℏ/L が一般に直交状態を生じる、Zurekの結論の妥当性を調査すること。
• 特に自由度の数がどのようにこの直交性の発生に影響するかを特定すること。
• 変位行列要素 ⟨D(δp,δx)⟩ の振るまいを、Wigner関数の小スケール構造と大スケールのエルゴディック分布の両者と調和させること。

提案手法

• Wigner関数の大スケールを、エネルギー面に一様な分布を表す δ(H(x,p)−E) としてモデル化するため、Berry-Vorosの仮説を用いる。
• Wigner関数と変位行列要素 ⟨D(δp,δx)⟩ 間のフーリエ変換関係（式5）を適用し、位相空間構造が重なりに与える影響を分析する。
• 3次元箱内のN個の硬い球体の希薄な気体を、3N次元のカオス的ビリヤードとして単一粒子系にモデル化し、ランダム波の予想を適用する。
• 位置と運動量成分に対してベッセル関数とシンク関数を用いて変位行列要素を導出し、その後Nを大きくした極限でガウス的減衰を得る。
• 少数粒子系（d ≪ 1）と多数粒子系（d ≫ 1）における ⟨D(δp,δx)⟩ の振るまいを比較し、再帰ピークのべき則減衰と指数関数的減衰の違いを示す。
• ZurekによるWigner関数の小スケール構造とBerry-Vorosによる大スケール構造を統合し、重なりの振るまいにおける一見矛盾する振るまいを解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カオス的系のWigner関数におけるサブ・プランクスケール構造が、一般に微小なずれに対して直交状態を生じるか？
• RQ2 自由度が少ない系において、δx ∼ ℏ/P または δp ∼ ℏ/L が直交状態を生じるとの結論は妥当か？
• RQ3 自由度の数dが、微小なずれにおける重なり ⟨D(δp,δx)⟩ の減衰にどのように影響するか？
• RQ4 少数粒子系における重なりのリング状の振るまいを、Wigner関数の小スケール構造と調和させることは可能か？
• RQ5 重なり ⟨D(δp,δx)⟩ がべき則減衰ではなく指数関数的減衰を示す条件は何か？

主な発見

• 自由度が少ない系では、重なり ⟨D(δp,δx)⟩ が δx ∼ ℏ/P および δp ∼ ℏ/L で再帰的なゼロ点を示し、ピーク振幅がべき則で減衰する。
• 少数粒子系では微小なずれにおいて重なりが指数関数的に減衰せず、べき則的抑制を示す持続的振動を示す。
• 多数粒子系（d ≫ 1）では、重なり ⟨D(δp,δx)⟩ が exp(−P²|δx|²/6ℏ²) および exp(−L²|δp|²/24ℏ²) のように指数関数的に減衰し、急速な抑制が生じる。
• 多数粒子系における指数関数的減衰は、Zurekの結論を回復する。すなわち、微小なずれがほぼ直交状態を生じることになる。
• べき則減衰から指数関数的減衰への遷移は、自由度の増加に伴い再帰ピークが抑制されることによって駆動される。
• 解析により、このメカニズムによる有効な量子デコherenceを実現するには多数粒子環境が不可欠であることが確認された。