[論文レビュー] Sub-Riemannian geodesics on the free Carnot group with the growth vector (2,3,5,8)

Yuri L. Sachkov|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、成長ベクトル (2,3,5,8) を持つ4段階の自由カルノー群における非リーマン的測地線問題を研究し、明示的な多項式ベクトル場モデルの構築、ポントレヤーギンの最大原理によるハミルトニアン系の導出、および10個の独立した運動量積分（うち7つが可換）の計算を行う。コ・随伴軌道上の系の数値解析は、カオス的ダイナミクスを示唆し、系がリウヴィル意味での非可積分性であると予想される。

ABSTRACT

We consider the free nilpotent Lie algebra $L$ with 2 generators, of step 4, and the corresponding connected simply connected Lie group $G$. We study the left-invariant sub-Riemannian structure on $G$ defined by the generators of $L$ as an orthonormal frame. We compute two vector field models of $L$ by polynomial vector fields in $R^8$, and find an infinitesimal symmetry of the sub-Riemannian structure. Further, we compute explicitly the product rule in $G$, the right-invariant frame on $G$, linear on fibers Hamiltonians corresponding to the left-invariant and right-invariant frames on $G$, Casimir functions and co-adjoint orbits on $L^*$. Via Pontryagin maximum principle, we describe abnormal extremals and derive a Hamiltonian system $\dot λ= \vec{H}(λ)$, $λ\in T^*G$, for normal extremals. We compute 10 independent integrals of $\vec{H}$, of which only 7 are in involution. After reduction by 4 Casimir functions, the vertical subsystem of $\vec{H}$ on $L^*$ shows numerically a chaotic dynamics, which leads to a conjecture on non-integrability of $\vec{H}$ in the Liouville sense.

研究の動機と目的

• 成長ベクトル (2,3,5,8) を持つ自由冪零リー群における非リーマン的測地線問題を解析すること。これはヘイゼンベルク群やカルノー群の自然な拡張である。
• R^8 における多項式ベクトル場を用いたリー代数の明示的実現（対称的および非対称的モデルを含む）を構築すること。
• ポントレヤーギンの最大原理を用いて正規外部解のハミルトニアン系を導出し、保存量を同定すること。
• 正規ハミルトニアン系の可積分性を調査し、カシミール関数による還元後のダイナミクスを分析すること。
• 還元された縦方向部分系における観察されたカオス的振る舞いから、系がリウヴィル意味で非可積分であると予想すること。

提案手法

• グレイソン＝グロスマンのアルゴリズムと独自の対称的構成法を用いて、ランク2、段階4の自由冪零リー代数の2つの実現（多項式ベクトル場として R^8 に）を構築する。
• G ≅ R^8 上での群積を明示的に計算し、X₁, X₂ によって定義される左不変フレームに対応する右不変フレームを導出する。
• T*G のファイバー上で線形である左不変および右不変ハミルトニアンを定式化し、L* 上でのカシミール関数と随伴軌道を計算する。
• ポントレヤーギンの最大原理を適用して異常外部解を特徴づけ、T*G 上での正規ハミルトニアン系 dλ/dt = H̃(λ) を導出する。
• ハミルトニアン・ベクトル場 H̃ の10個の独立した第一積分を計算したが、そのうち7つしか可換でない。
• 4つのカシミール関数による還元を行い、L* 上の垂直部分系を数値的に分析した。その結果、カオス的ダイナミクスが観察された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 成長ベクトル (2,3,5,8) を持つ自由カルノー群の構造は何か？ また、R^8 における多項式ベクトル場による実現はどのように可能か？
• RQ2 この群上の左不変非リーマン的構造の対称性、積則、ハミルトニアンダイナミクスは何か？
• RQ3 正規外部解の (2,3,5,8)-問題はリウヴィル可積分であるか？ 10個の保存量の役割は何か？
• RQ4 随伴軌道上の還元ハミルトニアン系はカオス的振る舞いを示すか？ これは非可積分性を示唆するか？
• RQ5 この問題の測地線は、射影によって低次元の非リーマン的問題（例えばヘイゼンベルク群、カルノー群）とどのように関係するか？

主な発見

• 2生成子、4段階の自由冪零リー代数の2つの明示的実現（非対称的および対称的）が構築された。後者は原点を固定する1パラメータの対称性群を有する。
• G ≅ R^8 上での群積が明示的に計算され、左不変フレームに対応する右不変フレームが導出された。
• 左不変および右不変ハミルトニアンが T*G 上で線形関数として構築され、双対空間 L* 上に4つのカシミール関数が同定された。
• ポントレヤーギンの最大原理を用いて正規ハミルトニアン系が導出され、T*G 上のハミルトニアン・ベクトル場 H̃ が得られた。
• H̃ の10個の独立した第一積分が計算されたが、そのうち7つしか可換でないため、完全な可積分性は満たさない。
• 4つのカシミール関数による還元後、L* 上の垂直部分系は数値的にカオス的ダイナミクスを示し、全系がリウヴィル意味で非可積分であると予想される。