[論文レビュー] Sub-Riemannian geometry and Lie groups. Part I

Marius Buliga|ArXiv.org|Oct 13, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非可換微分とパンス微分を用いて接 bundle を再定義することにより、リー群上の部分リーマン幾何学における画期的な枠組みを提案する。その結果、ほとんど至る所で双リプシッツ写像がメトリック的に可換微分可能であり、その仮想接写像が同型であることが示された。主な貢献は、錐群における部分リーマン版のラデマッハの定理の確立であり、メトリック幾何学とリー群構造を内在的な微分積分学によって結びつける。

ABSTRACT

These pages covers my expository talks during the seminar "Sub-Riemannian geometry and Lie groups" organised by the author and Tudor Ratiu at the Mathematics Department, EPFL, 2001. However, this is the first part of three, in preparation, dedicated to this subject. It covers, with mild modifications, an elementary introduction to the field.

研究の動機と目的

• 非可積分な分布に対する接 bundle、微分積分学、多様体構造を定義するという、部分リーマン幾何学の基礎的問題に取り組む。
• グロモフの漸近的平坦性原理が成り立つにもかかわらず、部分リーマン多様体がリーマン多様体と異なる振る舞いを示す理由を解明する。
• 古典的微分可能性を一般化し、カーノイ群上で内在的な微分積分学を可能にする非可換微分の枠組みを構築する。
• カーノイ群上での双リプシッツ写像に対する部分リーマン版のラデマッハの定理を確立する。
• モーメント写像、可解性理論、およびカーノイ空間上の双リプシッツ群の表現の基盤を築く。

提案手法

• 群演算の漸近的スケーリングを用いて、パンス微分とスケーリングを用いてメトリック微分と仮想接 bundle を定義する。
• ボールボックス定理を適用して、小さな球の幾何を制御し、それらを冪零近似と関連付ける。
• λ→0 の極限における δλ−1(f(x)−1f(xδλu)) の極限として、可換微分可能性の概念を導入し、非可換微分を定義する。
• マーガリス＝モストウの接 bundle の構成を用いて、仮想接空間を錐群の同型写像として定義する。
• 局所から大域への原理とシンプレクティックリフト技術を用いて、ヘイゼンベルク群上のハミルトニアン力学と部分リーマン構造を関連付ける。
• 双リプシッツ写像のほとんど everywhere での微分可能性を示すことで、部分リーマン設定におけるラデマッハの定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可積分な左不変分布を持つ部分リーマンリー群に対して、一貫性のある多様体構造と接 bundle をどのように定義できるか。
• RQ2 部分リーマン幾何学における内在的微分積分学とは何か。それは古典的微分積分学とどのように異なるか。
• RQ3 ハミルトニアン形式主義が余接 bundle 上で完全に見えるにもかかわらず、なぜ部分リーマン幾何学に異常測地線が存在するのか。
• RQ4 左不変分布を持つコンパクトリー群の接 bundle は、自然な群構造を備えているか。
• RQ5 体積を保存する双リプシッツ写像の不変量は何か。それらは体積形式を越えてどのように拡張されるか。

主な発見

• カーノイ群間の双リプシッツ写像の仮想接写像は、ほとんど至る所で錐群の同型写像である。これは、ラデマッハの定理を部分リーマン設定に一般化したものである。
• 漸近的群演算（δt スケーリングを用いて）で定義された接 bundle は、マーガリスとモストウが定義した仮想接 bundle と一致する。これにより、構成の妥当性が裏付けられる。
• δλ−1(f(x)−1f(xδλu)) で定義される非可換微分は、一様に極限に収束し、ほとんど至る所でメトリック的可換微分可能性が確立される。
• ボールボックス定理により、カーノイ・カラテオドリ距離における小さな球が、冪零近似におけるボックスと漸近的に同値であることが保証され、幾何的制御が可能になる。
• 左不変群演算とスケーリングを用いた接 bundle の構成は、一貫性があり、部分リーマン計量と整合する内在的な微分構造をもたらす。
• この手法により、古典的結果（例えばパンス＝ラデマッハの定理）が特別な場合として回復され、既知の部分リーマン解析と整合性が示される。