[論文レビュー] Sub-Riemannian interpolation inequalities: ideal structures

Davide Barilari, Luca Rizzi|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非自明な異常最小化子をもたない理想な部分リーマン多様体における最適輸送の補間不等式を、部分リーマンのヤコビ場と歪度係数の分析によって確立する。これらはリーマン的対応物とは根本的に異なる。カット集合は、距離の二乗が擬凸でなくなる点の集合として特徴付けられ、鋭い内因的Borell-Brascamp-Liebおよび測地的Brunn-Minkowski不等式が導かれる。これは、一般化されたH型カルノー群および最適測度収縮性を持つグリューシュイン平面へと先行結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove that ideal sub-Riemannian manifolds (i.e., admitting no non-trivial abnormal minimizers) support interpolation inequalities for optimal transport. A key role is played by sub-Riemannian Jacobi fields and distortion coefficients, whose properties are remarkably different with respect to the Riemannian case. As a byproduct, we characterize the cut locus as the set of points where the squared sub-Riemannian distance fails to be semiconvex, answering to a question raised by Figalli and Rifford in [Geom. Funct. Anal. (2010) 20: 124]. As an application, we deduce sharp and intrinsic Borell-Brascamp-Lieb and geodesic Brunn-Minkowski inequalities in the aforementioned setting. For the case of the Heisenberg group, we recover in an intrinsic way the results recently obtained by Balogh, Krist\'aly and Sipos in [arXiv:1605.06839], and we extend them to the class of generalized H-type Carnot groups. Our results do not require the distribution to have constant rank, yielding for the particular case of the Grushin plane a sharp measure contraction property and a sharp Brunn-Minkowski inequality.

研究の動機と目的

• 非自明な異常最小化子をもたない多様体における部分リーマン幾何における最適輸送の補間不等式を確立すること。
• 距離の二乗関数の擬凸性の失敗に基づいてカット集合を特徴付けること。
• 部分リーマン設定において鋭い、内因的なBorell-Brascamp-Liebおよび測地的Brunn-Minkowski不等式を導出すること。
• ヘイゼンベルク群に関する最近の結果を一般化し、一般化されたH型カルノー群を含むより広いクラスのカルノー群へと拡張すること。
• 分布の階数が一定でない場合でも、グリューシュイン平面に対して鋭い測度収縮性およびBrunn-Minkowski不等式を提供すること。

提案手法

• リーマン的状況とは顕著に異なる、部分リーマンのヤコビ場および歪度係数の分析。
• 幾何的制御理論を用いて、非自明な異常最小化子をもたない多様体としての理想な部分リーマン多様体を同定すること。
• 部分リーマン構造に適応された曲率次元条件を用いて、最適輸送理論を応用し、補間不等式を導出すること。
• 距離の二乗が擬凸でなくなる点としてカット集合を同定し、内因的な幾何的解析を用いること。
• 構造的不変性と内因的メソッドを通じて、ヘイゼンベルク群から一般化されたH型カルノー群への結果の拡張。
• 分布の階数が一定でないという仮定を緩和することで、グリューシュイン平面に対する鋭い測度収縮性の導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な異常最小化子をもたない部分リーマン多様体における最適輸送の補間不等式は、どのように確立できるか？
• RQ2 部分リーマン幾何におけるカット集合の内因的特徴付けは何か？ そして、距離の二乗関数の擬凸性とはどのように関係するか？
• RQ3 リーマン近似に依存せずに、部分リーマン設定において鋭いBorell-Brascamp-Liebおよび測地的Brunn-Minkowski不等式を導出可能か？
• RQ4 ヘイゼンベルク群に関する結果は、一般化されたH型カルノー群のクラスへどの程度一般化可能か？
• RQ5 分布の階数が一定でない場合、グリューシュイン平面における鋭い測度収縮性およびBrunn-Minkowski不等式は何か？

主な発見

• 理想な部分リーマン多様体におけるカット集合は、距離の二乗が擬凸でなくなる点の集合として正確に特徴付けられ、FigalliとRiffordが提起した問いに答えている。
• 部分リーマンのヤコビ場および歪度係数は、リーマン的状況とは構造的に異なるが、補間不等式の導出に不可欠である。
• 一般化されたH型カルノー群を含む、理想な部分リーマン多様体に対して、鋭い内因的Borell-Brascamp-Liebおよび測地的Brunn-Minkowski不等式が確立された。
• 外部埋め込みや近似に依存せずに、ヘイゼンベルク群に関する最近の結果を内因的かつ幾何的に自然な形で回復・拡張した。
• グリューシュイン平面に対して、分布の階数が一定でないという条件下でも、鋭い測度収縮性および鋭いBrunn-Minkowski不等式が導出された。
• 本フレームワークは、分布の階数が一定である必要がない一般な部分リーマン構造に適用可能であり、これらの不等式の適用範囲を広げた。