[論文レビュー] Subadditive and Multiplicative Ergodic Theorems

Sébastien Gouëzel, Anders Karlsson|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Geometry and complex manifolds被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、部分加法的コサイクルが漸近的成長率に近づく時刻を特定する洗練された部分加法的エルゴード定理を確立し、1-Lipschitz写像の確率的積に対して一般化された乗法的エルゴード定理を可能にする。主な貢献は、このような積が方向に関してホロ関数に収束することの証明であり、Wolff-Denjoy定理を一般化し、線形作用素、正則写像、トピカル作用素へ応用を拡大し、Teichmüller空間における極値長の応用を含む。

ABSTRACT

A result for subadditive ergodic cocycles is proved that provides more delicate information than Kingman's subadditive ergodic theorem. As an application we deduce a multiplicative ergodic theorem generalizing an earlier result of Karlsson-Ledrappier, showing that the growth of a random product of semi-contractions is always directed by some horofunction. We discuss applications of this result to ergodic cocycles of bounded linear operators, holomorphic maps and topical operators, as well as a random mean ergodic theorem.

研究の動機と目的

• 部分加法的コサイクルが漸近的成長率に一様に近づく『良い時刻』を同定することで、Kingmanの部分加法的エルゴード定理を洗練すること。
• 距離空間における1-Lipschitz写像の確率的積に対して一般化された乗法的エルゴード定理を確立し、軌道u(n, ω)zがホロ関数に方向収束することを示すこと。
• Wolff-Denjoy定理を単位円板を超えて一般の距離空間および正則自己写像へ一般化し、Teichmüller空間および極値長への応用を含めること。
• Gromov双曲性などの幾何的仮定のもとで、弱収束型のメトリック関数への収束を強収束にアップグレードできることを示すこと。
• 有界線形作用素およびトピカル作用素のコサイクルに対する新たなエルゴード定理を導出し、確率的PDEおよび力学系への応用を含めること。

提案手法

• 部分加法的コサイクルが漸近的成長率に一様に近づくような時刻ni(ω)と誤差項δℓ(ω)を同定する洗練された部分加法的エルゴード定理（定理1.1）を導入する。
• 洗練された部分加法的定理を鍵となる道具として用い、1-Lipschitz写像に対する乗法的エルゴード定理を証明し、軌道u(n, ω)zがホロ関数hωに方向収束することを示す。
• 距離空間の境界に収束する列を用いてメトリック関数およびホロ関数を定義し、1-Lipschitz写像が距離を非拡大に保つ性質を活用する。
• 複素領域におけるKobayashi距離に本結果を適用し、凸性および滑らかさの仮定のもとで、成長率τ > 0のとき、軌道が境界点に収束することを示す。
• Teichmüller距離と極値長の関係を記述するKerckhoffの公式を用い、Teichmüller空間の正則自己写像の下で極値長の対数的エルゴード定理を導出する。
• Teichmüller空間におけるホロ関数に関するLiuとSuの結果を活用し、極値長の成長の極限的方向を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kingmanの部分加法的エルゴード定理は、部分加法的コサイクルが成長区間全体にわたり漸近的レートに一様に近づく時刻を同定することで洗練可能か？
• RQ2 距離空間における1-Lipschitz写像の確率的積の漸近的挙動は、常に方向に関してホロ関数に収束するか？
• RQ3 一般化された乗法的エルゴード定理は、単位円板を超えて任意の複素領域および正則写像へWolff-Denjoy定理をどの程度まで拡張可能か？
• RQ4 Gromov双曲性などの幾何的条件のもとで、メトリック関数の弱収束を強収束にアップグレード可能か？
• RQ5 Teichmüller空間の正則自己写像の確率的合成の下で、極値長の成長はどのように振る舞うか？

主な発見

• 洗練された部分加法的定理（定理1.1）は、a.e. ωに対してni(ω) → ∞ かつ δℓ(ω) → 0 となる時刻ni(ω)と誤差項δℓ(ω)の存在を保証し、任意のℓ ≤ niに対して |a(ni, ω) − a(ni − ℓ, T^ℓω) − Aℓ| ≤ ℓδℓ(ω) が成り立つ。
• 有限な漸近平均Aをもつ可積分な部分加法的コサイクルに対して、この定理は区間の長さが増大する中でコサイクルが加法的挙動に一様に近づくことを保証する。
• 乗法的エルゴード定理（定理1.3）は、a.e. ωに対して、軌道u(n, ω)zがホロ関数hωに方向収束することを確立し、hω(u(n, ω)z) → −∞ (n → ∞) が成り立つことを意味する。
• Cd内の有界な領域Dにおける正則自己写像に対して、適切な凸性および滑らかさの仮定のもとで、成長率τ > 0のとき、a.e. ωに対してu(n, ω)z → ξω ∈ ∂D が成り立ち、極限点は初期点zに依存しない。
• Teichmüller空間Tgにおいて、定理は対数的エルゴード定理を導く：a.e. ωおよびある単純閉曲線α = αωに対して limn→∞ (1/n) log Ext_{u(n,ω)ρ}(α) = 2 limn→∞ (1/n) dT(u(n,ω)ρ, ρ) が成り立つ。
• この結果は有界線形作用素およびトピカル作用素に適用可能であり、無限次元設定における新たなエルゴード定理を提供し、確率的PDEおよび流体力学的乱流への応用が期待される。