[論文レビュー] Subalgebras of Graph C*-Algebras

Alan Hopenwasser, Jurtin R. Peters+1 more|ArXiv.org|Sep 5, 2004

Advanced Algebra and Logic被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、グラフ C*-代数における双モジュールのスペクトル定理を確立し、双モジュールがそのスペクトルによって完全に決定されるための必要十分条件を示している。その条件とは、双モジュールが含む Cuntz-Krieger の部分等長射影によって生成されていること、またはゲージ自己同型作用に関して不変であることである。主な貢献は、群oids の同型を用いて、ゲージ不変かつ生成的三角部分代数をそのスペクトルによって分類したことにある。

ABSTRACT

We prove a spectral theorem for bimodules in the context of graph C*-algebras. A bimodule over a suitable abelian algebra is determined by its spectrum (i.e., its groupoid partial order) iff it is generated by the Cuntz-Krieger partial isometries which it contains iff it is invariant under the gauge automorphisms. We study 1-cocycles on the Cuntz-Krieger groupoid associated with a graph C*-algebra, obtaining results on when integer valued or bounded cocycles on the natural AF subgroupoid extend. To a finite graph with a total order, we associate a nest subalgebra of the graph C*-algebra and then determine its spectrum. This is used to investigate properties of the nest subalgebra. We give a characterization of the partial isometries in a graph C*-algebra which normalize a natural diagonal subalgebra and use this to show that guage invariant generating triangular subalgebras are classified by their spectra.

研究の動機と目的

• AF C*-代数における双モジュールのスペクトル定理を、群oids の技法が不可欠となる非主な群oids を持つグラフ C*-代数へと拡張すること。
• グラフ C*-代数の対角部分代数上の双モジュールがそのスペクトルによって完全に決定される条件を特定すること。これは、AF の場合とは顕著な相違を示す。
• Cuntz-Krieger 群oids 上の 1-コサイクル、特に整数値および有界なコサイクルの性質を調査し、それらの拡張可能性を検討すること。
• 有限グラフ上の全順序を用いてグラフ C*-代数のネスト部分代数を定義・研究し、そのスペクトルを同定すること。
• ゲージ不変かつ生成的三角部分代数を、そのスペクトルによって分類することにより、AF 代数の分類結果を一般化すること。

提案手法

• パス空間群oids が常に可約であるという事実を活かし、r-離散的かつ可約な群oids を用いてグラフ C*-代数をモデル化する。
• 部分等長射影の初期および終点射影によって生成される対角 C*-部分代数上の双モジュールを定義し、群oids の部分順序を介してスペクトルと関連付ける。
• Muhly と Solel による AF 代数におけるスペクトル双モジュール定理を応用し、二つの条件の同値性を証明する：双モジュールが Cuntz-Krieger の部分等長射影によって生成されていること、およびゲージ自己同型作用に関して不変であること。
• AF 群oids 理論の技法を適応し、特に有界および整数値コサイクルに注目して、Cuntz-Krieger 群oids 上の 1-コサイクルを導入・分析する。
• 全順序を備えた有限グラフからネスト部分代数を構成し、スペクトル定理を用いてそのスペクトルを計算する。
• 正規化部分等長射影のノルム特徴付けを用いて、二つの三角部分代数間の等長同型から、それらのスペクトルの群oids 同型を誘導する。これにより、代数的同型と群oids 構造との関係を結ぶ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ C*-代数の対角部分代数上の双モジュールが、そのスペクトルによって完全に決定される条件は何か？
• RQ2 Cuntz-Krieger 群oids 上の 1-コサイクルの性質は、AF 群oids 上のものとどのように異なるか。特に有界および整数値コサイクルの観点から検討する。
• RQ3 グラフ C*-代数のネスト部分代数は、そのスペクトルによって完全に特徴付け可能か。また、そのスペクトルはグラフの全順序からどのように計算されるか？
• RQ4 ゲージ不変かつ生成的三角部分代数が、その AF の類似物に類似した分類性質をどの程度継承するか。
• RQ5 二つの三角部分代数間の等長同型と、それらのスペクトルの群oids 同型との間の正確な関係は何か？

主な発見

• グラフ C*-代数の対角部分代数上の双モジュールは、そのスペクトルによって完全に決定されるための必要十分条件は、それが含む Cuntz-Krieger の部分等長射影によって生成されていることである。
• 双モジュールがそのスペクトルによって完全に決定されるための必要十分条件は、それがグラフ C*-代数のゲージ自己同型作用に関して不変であることである。
• グラフ C*-代数における双モジュールのスペクトル定理は、主な群oids（AF の場合）とは異なり、スペクトル以外の追加条件を要する。
• 全順序を備えた有限グラフに対して、関連するネスト部分代数のスペクトルは明示的に計算可能であり、グラフ内の有限パスの集合と一対一対応する。
• ゲージ不変かつ生成的三角部分代数は、群oids 同型を介して、そのスペクトルによって等長同型の意味で分類可能である。
• 二つのゲージ不変かつ生成的三角部分代数間の等長同型は、それらのスペクトルの群oids 同型を誘導し、逆に、そのような群oids 同型は部分代数間の等長同型を誘導する。