[論文レビュー] Subamenable groups and their partitions

Тарас Банах, Ігор Протасов+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2012

Advanced Topology and Set Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、任意の可算無限群 $G$ が、任意の $k$-要素部分集合 $K \subset G$ に対して、積 $KA$ および $KB$ が厚さを持たない（つまり、シンデティック補集合を持たない）ような二つの集合 $A$ と $B$ に分割可能であることを確立している。この結果は、$G$ 上に存在するシンデティック部分測度に依存しており、これは左不変な部分測度であり、測度が 1 より小さい任意の集合が、有限個の左平行移動によって $G$ を被覆できるように保証する。この性質により、このような分割の構成が可能になる。

ABSTRACT

We prove that for every number k each countable infinite group $G$ admits a partition $G=A\cup B$ into two sets which are $k$-meager in the sense that for every $k$-element subset $K\subset G$ the sets $KA$ and $KB$ are not thick. The proof is based on the fact that $G$ possesses a syndetic submeasure, i.e., a left-invariant submeasure $\mu:\mathcal P(G) o[0,1]$ such that for each $\epsilon > 1/|G|$ and subset $A\subset G$ with $\mu(A)<1$ there is a set $B\subset G\setminus A$ such that $\mu(B)<\epsilon$ and $FB=G$ for some finite subset $F\subset G$.

研究の動機と目的

• 任意の与えられた $k$ に対して、可算無限群が二分割可能であり、その各部分集合が $k$-meager であるかどうかを調査すること。
• このような分割を構成するための基礎的道具として、可算無限群上にシンデティック部分測度の存在を確立すること。
• 左平行移動によって $G$ を厚く被覆しない（すなわち、厚さを持たない）$k$-meager 集合が、群を意味的に分割するのに使用可能であることを示すこと。
• 部分測度と有限被覆を用いて、群論における「厚さ」と「メイジャー性」の概念を一般化すること。

提案手法

• 群 $G$ 上に存在するシンデティック部分測度 $\mu$ を用いる。これは左不変な関数 $\mu: \mathcal{P}(G) \to [0,1]$ であり、特定の被覆条件および測度条件を満たす。
• 任意の $A \subset G$ に対して $\mu(A) < 1$ ならば、$G \setminus A$ の部分集合 $B$ が存在し、任意の $\epsilon > 1/|G|$ に対して $\mu(B) < \epsilon$ かつ有限集合 $F \subset G$ が存在して $FB = G$ となることを応用する。
• 測度が小さい集合を段階的に選択し、それらの有限左平行移動が $G$ を被覆するように保証しながら、厚さを避けるようにして、$G = A \cup B$ の分割を構成する。
• 部分測度の性質を用いて背理法により、任意の $k$-要素部分集合 $K \subset G$ に対して、$KA$ および $KB$ が厚さを持てないことを証明する。
• 部分測度の不変性および劣加法性を用いて、左乗算による $KA$ および $KB$ の成長を制御する。
• もし $KA$ が厚さを持つならば、$\mu(A)$ は 1 に近い必要があるが、これは $A$ を測度が小さいように構成したことに反するため、矛盾が生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の可算無限群は、与えられた $k$ に対して、任意の $k$-要素左平行移動が厚さを持たないような二つの集合に分割可能か？
• RQ2 任意の可算無限群は、測度が小さい集合の有限被覆を許容するシンデティック部分測度を備えているか？
• RQ3 群の部分測度のどの構造的性質が、$k$-meager 集合が群の分割に使用可能であることを保証するか？
• RQ4 群論における部分測度と厚さの相互作用は、部分集合の可能な配置をどのように制約するか？

主な発見

• 任意の可算無限群 $G$ は、任意の $k$-要素部分集合 $K \subset G$ に対して、$KA$ および $KB$ が厚さを持たないような分割 $G = A \cup B$ を持つ。
• 群 $G$ 上にシンデティック部分測度が存在するならば、$\mu(A) < 1$ を満たす任意の集合 $A$ は、測度が小さい集合 $B$ を用いて、ある有限左平行移動 $FB = G$ によって $G$ を被覆できる。
• 任意の $\epsilon > 1/|G|$ に対して、$B \subset G \setminus A$ で $\mu(B) < \epsilon$ かつ $FB = G$ を満たす有限集合 $F \subset G$ が存在する。これにより、測度と被覆性の両方を制御できる。
• 構成法により、$KA$ および $KB$ が厚さを持たないことが保証される。なぜなら、それらの部分測度が 1 から著しく離れているため、シンデティック補集合を持たないからである。
• この結果はすべての $k$ に対して一様に成り立つため、$k$-meagerness がこのような分割において、$k$ の値に関係なく達成可能であることが示された。
• 主な技術的貢献は、左不変でシンデティック被覆性を持つ部分測度の存在であり、これが分割結果を可能にしている。