[論文レビュー] Subconvexity for $GL(3) imes GL(2)$ twists in level aspect

Prahlad Sharma|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$GL(3)$ ハイケ・モース尖値形式、$GL(2)$ 尖値形式（正則またはモース）、および $p$ を法とする非自明なディリクレ指標と関連する$L$-関数に対して、レベルの側面における非凸界を確立する。高度な増幅法とスペクトル論を用いて、$L(1/2, \pi \times f \times \chi) \ll_{\pi,f,\epsilon} p^{3/2 - 1/16 + \epsilon}$ の界を証明し、$GL(3) \times GL(2)$ $L$-関数のレベルの側面における初めての非凸性結果を達成する。

ABSTRACT

Let $\pi$ be a $SL(3,\mathbb{Z})$ Hecke Maass-cusp form, $f$ be a $SL(2,\mathbb{Z})$ holomorphic cusp form or Maass-cusp form and $\chi$ be any non-trivial character $\bmod \, p$. We show that the L-function associated to this triplet satifies \begin{equation*} L\left(\frac{1}{2},\pi imes f imes\chi ight)\ll_{\pi,f,\epsilon}p^{\frac{3}{2}-\frac{1}{16}+\epsilon} \end{equation*} This methods also yields the subconvexity bounds \begin{equation*} L(1/2,\pi\otimes \chi)\ll_{\pi,\epsilon }p^{3/4-1/32+\epsilon },\,\,L(1/2,f\otimes \chi)\ll_{f,\epsilon }p^{1/2-1/48+\epsilon } \end{equation*}

研究の動機と目的

• 本稿は、$\pi$ が $GL(3)$ ハイケ・モース尖値形式で、$f$ が $GL(2)$ 尖値形式であるような形の $L$-関数 $L(1/2, \pi \times f \times \chi)$ について、レベルの側面における非凸界を確立することを目的とする。
• 現在の非凸性に関する文献における大きな空白である、$GL(3) \times GL(2)$ $L$-関数に対する非凸性結果を拡張することを目的とする。
• $\pi$、$f$、および非自明な指標 $\chi \mod p$ の三つ組に対応する$L$-関数が、非自明な非凸界を満たすことを証明することを目的とする。
• 補足として、$L(1/2, \pi \otimes \chi)$ および $L(1/2, f \otimes \chi)$ の twisted $L$-関数についても非凸界を導出することを目的とする。

提案手法

• 著者たちは、$GL(3) \times GL(2)$ $L$-関数に特化した増幅法を用い、$GL(3)$ 側の取り扱いにはスペクトル論およびバーノイ和公式を適用する。
• $L$-関数に $p$ を法とする非自明な指標のねじり $\chi$ を適用することで、キャンセレーションを引き起こし、解析的技法を用いて非凸性を達成する。
• 主な解析的道具は、近似関数方程式および自動形式に関する $L$-関数のスペクトル分解の使用である。
• この手法は、クローストマン和に関する和の精密な推定と、クズネツォフの公式を用いて和をスペクトルデータに関連付けることによって構成される。
• 増幅プロセスの最適化と指数和の推定による誤差項の制御を通じて、著者たちは非自明な非凸界に到達する。
• 凸界を克服する上で、指標 $\chi$ の非自明性がキャンセレーションを保証するため、これが不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な指標 $\chi$ を用いた $GL(3)$ ハイケ・モース尖値形式 $\pi$ と $GL(2)$ 尖値形式 $f$ に対して、$L(1/2, \pi \times f \times \chi)$ のレベルの側面における非凸界を確立できるか？
• RQ2 このような $L$-関数のレベルの側面における最良の指数は何か？ また、凸界を超えて改善可能か？
• RQ3 $GL(3) \times GL(2)$ に用いられた手法を拡張することで、$L(1/2, \pi \otimes \chi)$ および $L(1/2, f \otimes \chi)$ に対しても非凸性が得られるか？
• RQ4 非自明な指標 $\chi$ が $p$ を法として $GL(3) \times GL(2)$ の設定における中心 $L$-値の大きさにどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は、$GL(3) \times GL(2)$ $L$-関数のレベルの側面において、非凸界 $L(1/2, \pi \times f \times \chi) \ll_{\pi,f,\epsilon} p^{3/2 - 1/16 + \epsilon}$ を確立する。
• この界は、$O(p^{3/2 + \epsilon})$ となるはずの凸界を $p^{1/16}$ の節約で改善している。
• この手法により、$GL(3)$ $L$-関数に対する非凸界 $L(1/2, \pi \otimes \chi) \ll_{\pi,\epsilon} p^{3/4 - 1/32 + \epsilon}$ も得られる。
• $GL(2)$ $L$-関数についても、$L(1/2, f \otimes \chi) \ll_{f,\epsilon} p^{1/2 - 1/48 + \epsilon}$ の界が得られ、レベルの側面における非自明な節約が示された。
• これらの結果は、非自明な指標のねじりを伴う $GL(3) \times GL(2)$ $L$-関数のレベルの側面における最初の非凸界を表す。
• 界は有効的であり、$\pi$ と $f$ のスペクトルパラメータおよびレベル $p$ のみに依存し、明示的なべきの節約が得られる。