[論文レビュー] Subcritical neighbourhood family percolation models have non-trivial phase transitions

Paul Balister, Béla Bollobás+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ℤ^2$ 上の部分臨界的 $υ$-ブートストラップ確率的模型が、古典的ブートストラップ確率的模型とは異なり、非自明な臨界確率を示すことを確立している。これにより、無限格子確率的模型における臨界現象の研究が再び活性化される。著者らは、オリエンテッドサイト確率的模型と結合された退化的で対称的な部分型を除き、すべての均一的・局所的・単調的模型をこの性質で特徴づけている。

ABSTRACT

We prove that there exist natural generalizations of the classical bootstrap percolation model on $\mathbb{Z}^2$ that have non-trivial critical probabilities, and moreover we characterize all homogeneous, local, monotone models with this property. Van Enter (in the case $d=r=2$) and Schonmann (for all $d \geq r \geq 2$) proved that $r$-neighbour bootstrap percolation models have trivial critical probabilities on $\mathbb{Z}^d$ for every choice of the parameters $d \geq r \geq 2$: that is, an initial set of density $p$ almost surely percolates $\mathbb{Z}^d$ for every $p>0$. These results effectively ended the study of bootstrap percolation on infinite lattices. Recently Bollobas, Smith and Uzzell introduced a broad class of percolation models called $\mathcal{U}$-bootstrap percolation, which includes $r$-neighbour bootstrap percolation as a special case. They divided two-dimensional $\mathcal{U}$-bootstrap percolation models into three classes -- subcritical, critical and supercritical -- and they proved that, like classical 2-neighbour bootstrap percolation, critical and supercritical $\mathcal{U}$-bootstrap percolation models have trivial critical probabilities on $\mathbb{Z}^2$. They left open the question as to what happens in the case of subcritical families. In this paper we answer that question: we show that every subcritical $\mathcal{U}$-bootstrap percolation model has a non-trivial critical probability on $\mathbb{Z}^2$. This is new except for a certain `degenerate' subclass of symmetric models that can be coupled from below with oriented site percolation. Our results re-open the study of critical probabilities in bootstrap percolation on infinite lattices, and they allow one to ask many questions of subcritical bootstrap percolation models that are typically asked of site or bond percolation.

研究の動機と目的

• 部分臨界的 $υ$-ブートストラップ確率的模型が $ℤ^2$ 上で非自明な臨界確率を示すかどうかという未解決の問題を解消すること。
• 非自明な臨界確率を持つすべての均一的・局所的・単調的 $υ$-ブートストラップ確率的模型を特徴づけること。
• 古典的 $r$-近傍ブートストラップ確率的模型で観察される自明な臨界挙動を超えて、確率的模型における相転移の理解を拡張すること。
• 部分臨界的族における非自明な領域を同定することで、無限格子上でのブートストラップ確率的模型における臨界確率の研究を再活性化すること。

提案手法

• 著者らは、局所的・単調的・均一的な更新規則によって定義される、古典的ブートストラップ確率的模型の一般化である $υ$-ブートストラップ確率的模型を分析する。
• 更新規則の幾何的・組合せ的性質に基づいて、$υ$-ブートストラップ確率的模型を部分的・臨界的・超臨界的な族に分類する。
• 退化的で対称的な部分型を扱うために、双対性の議論とオリエンテッドサイト確率的模型との比較を用いる。
• 非退化的で部分臨界的なモデルに対しては、非自明な相転移の存在を示すために、部分臨界的な分岐過程とのカップリングを構築する。
• 感染クラスタの成長を制御するために再正規化技術を用い、初期密度が任意に小さくても、ほとんど確実に確率的模型が成立しないことを示す。
• 解析は、更新族 $υ$ 及びその凸包の構造に依存しており、モデルが部分的かどうかを決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分臨界的 $υ$-ブートストラップ確率的模型が $ℤ^2$ 上で、古典的 $r$-近傍モデルで観察される自明な挙動とは対照的に、非自明な臨界確率を示すか？
• RQ2 どの均一的・局所的・単調的 $υ$-ブートストラップ確率的模型が非自明な臨界確率を持つのか？
• RQ3 対称的で部分的である退化的クラスは、オリエンテッドサイト確率的模型とのカップリングによって特徴づけられるか？
• RQ4 更新族 $υ$ のどの構造的性質が、臨界確率が非自明であるかどうかを決定するのか？
• RQ5 $υ$-ブートストラップ確率的模型が部分的・臨界的・超臨界的な族に分類されることで、相転移の存在にどのような影響を与えるか？

主な発見

• すべての非退化的で部分臨界的な $υ$-ブートストラップ確率的模型は、非自明な臨界確率を持つ。これは、初期密度が任意に小さくても、ほとんど確実に確率的模型が成立しないことを意味する。
• 対称的で部分的である退化的クラスは、オリエンテッドサイト確率的模型から下方にカップリング可能であり、これにより非自明な挙動を示すことが示唆される。
• すべての非退化的で部分臨界的なモデルでは、臨界確率が正に保たれる。これは、古典的 $r$-近傍ブートストラップ確率的模型で観察される自明な $p_c = 0$ の挙動とは対照的である。
• 均一的・局所的・単調的 $υ$-ブートストラップ確率的模型において、非自明な臨界確率を持つモデルの特徴づけは、退化的で対称的なケースを除き完全に達成されている。
• 非自明な相転移を示す豊富なモデル族を同定することで、無限格子上でのブートストラップ確率的模型における臨界確率の研究が再活性化された。
• 部分臨界的なモデルにおける非自明な相転移の存在により、スケーリング極限や相関関数の崩壊といった、標準的な確率的模型の問いが、ブートストラップ確率的模型に応用可能になる。