[論文レビュー] Subdivisions, shellability, and the Zeeman conjecture

Karim Adiprasito, Bruno Benedetti|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、凸多面体の長方形分割された三角形分割が十分に細分化されるとシェーリング可能であることを証明し、接続操作を分析するための相対的シェーリング可能性枠組みを導入する。また、三角形分割が有限回の導来分割の後でシェーリング可能になることと、かつそれが成り立つことの必要十分条件であることを示し、ゼーマン、ホワイトヘッド、ビラーラ＝スワーツらの長年の未解決問題を解決し、収縮可能性および非避難性に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

We prove that the second derived subdivision of any rectilinear triangulation of any convex polytope is shellable. Also, we prove that the first derived subdivision of every rectilinear triangulation of any convex 3-dimensional polytope is shellable. This complements Mary Ellen Rudin's classical example of a non-shellable rectilinear triangulation of the tetrahedron. Our main tool is a new relative notion of shellability that characterizes the behavior of shellable complexes under gluing. As a corollary, we obtain a new characterization of the PL property in terms of shellability: A triangulation of a sphere or of a ball is PL if and only if it becomes shellable after sufficiently many derived subdivisions. This improves on results by Whitehead, Zeeman and Glaser, and answers a question by Billera and Swartz. We also show that any contractible complex can be made collapsible by repeatedly taking products with an interval. This strengthens results by Dierker and Lickorish, and resolves a conjecture of Oliver. Finally, we give an example that this behavior extends to non-evasiveness, thereby answering a question of Welker.

研究の動機と目的

• 任意の凸多面体の長方形三角形分割の第二導来分割がシェーリング可能であることを確立すること。
• 任意の3次元凸多面体の長方形三角形分割の第一導来分割がシェーリング可能であることを示し、ルーディンの非シェーリング可能な例を補完すること。
• シェーリング可能複体が部分複体に沿って接合されるときの挙動を特徴づける、相対的シェーリング可能性の概念を構築すること。
• 十分な回数の導来分割を経た後のシェーリング可能性に基づいて、組立的線形（PL）性質を新たに特徴づけること。
• 収縮可能性および非避難性に関する結果を、区間との繰り返し積を用いて一般化し、任意の可縮複体が繰り返し区間との積を取ることで収縮可能（および非避難的）になることを示すこと。

提案手法

• 部分複体に沿って接合されるシェーリング可能複体の挙動を分析するための新しい相対的シェーリング可能性概念を導入する。
• 相対的シェーリング可能性枠組みを用いて、長方形三角形分割の導来分割のシェーリング可能性を証明する。
• 帰納法と多面体的複体の構造的分解を用いて、導来分割におけるシェーリング可能性を検証する。
• 既知の導来分割およびPL位相幾何学の結果を活用し、シェーリング可能性とPL性質との関係を確立する。
• 収縮可能複体に区間との積を繰り返し適用する構成を用いて、合同な複体を収縮可能に変換する。これは、ディアーカーとリコリッシュの先行結果を一般化する。
• 繰り返し区間積における非避難性の挙動を分析し、性質が保存される例を構築することで、非避難性への拡張を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の凸多面体の長方形三角形分割の第二導来分割がシェーリング可能であることを示せるか？
• RQ2 任意の3次元凸多面体の長方形三角形分割の第一導来分割は、シェーリングを許容するか？
• RQ3 球または球体の三角形分割のPL性質は、有限回の導来分割の後、シェーリング可能性によって特徴づけられるか？
• RQ4 任意の可縮複体を繰り返し区間との積を取ることで収縮可能にすることができるか？
• RQ5 分割におけるシェーリング可能性の挙動は、ウェルカーの意味での非避難性へも拡張可能か？

主な発見

• 任意の凸多面体の長方形三角形分割の第二導来分割はシェーリング可能である。
• 任意の3次元凸多面体の長方形三角形分割の第一導来分割はシェーリング可能である。
• 球または球体の三角形分割がPLであることは、十分に多くの導来分割を経た後、シェーリング可能になることと必要十分条件である。
• 任意の可縮複体は、区間との積を十分な回数とることで収縮可能にできる。
• 分割におけるシェーリング可能性の挙動は、非避難性へも拡張され、構築された例によって示された。
• この論文はオリバーの収縮可能性に関する予想を解決し、ビラーラとスワーツ、ウェルカーの非避難性に関する質問に答えている。