[論文レビュー] Subequivalence Relations and Positive-Definite Functions

Adrian Ioana, Alexander S. Kechris+1 more|ArXiv.org|Jun 3, 2008

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、標準的確率空間の自己同型群上の正定値関数と部分同値関係の間の新しい関係を提示する。関数 $\varphi_E(S) = \mu(\{x : S(x) E x\})$ を用いて、自己同型が同値関係によってどれほど「捕らえられるか」を測定する。主な貢献は、共誘導群作用の混合性およびエルゴディック性を $\varphi_E(\gamma)$ の減衰に帰着させることであり、$\varphi_E(\gamma) \to 0$ が $\gamma \to \infty$ のとき成り立つことは、すべての基本的作用に対して共誘導作用が混合的であることと同値であることを確立する。

ABSTRACT

We study a positive-definite function associated to a measure-preserving equivalence relation on a standard probability space and use it to measure quantitatively the proximity of subequivalence relations. This is combined with a recent co-inducing construction of Epstein to produce new kinds of mixing actions of an arbitrary infinite discrete group and it is also used to show that orbit equivalence of free, measure preserving, mixing actions of non-amenable groups is unclassifiable in a strong sense. Finally, in the case of property (T) groups we discuss connections with invariant percolation on Cayley graphs and the calculation of costs.

研究の動機と目的

• 群 $\mathrm{Aut}(X,\mu)$ 上の正定値関数と可算かつ測度を保つ同値関係を結ぶ関数解析的枠組みを確立すること。
• 特に軌道構造とコストに関連して、$E \subseteq F$ という部分同値関係の近接性を $\varphi_E(\gamma)$ の下限によって分析すること。
• 共誘導群作用のエルゴディック性および混合性を $\varphi_E(\gamma)$ の減衰挙動を用いて調査すること。
• カジワラの性質 (T) および HAP を用いて、同値関係および群作用のコストに関する定量的バウンドを導出すること。
• 共誘導作用が混合的またはエルゴディックである条件を、$\varphi_E(\gamma)$ の減衰に基づいて特徴づけること。

提案手法

• 自己同型 $S \in \mathrm{Aut}(X,\mu)$ に対して、$\varphi_E(S) = \mu(\{x : S(x) E x\})$ と定義される正定値関数を導入し、$S$ が同値関係 $E$ をどれほど保存するかを測定する。
• $\varphi_E$ を用いて、特に $F$ が群 $\Gamma$ の作用によって誘導されるときの部分同値関係 $E \subseteq F$ の構造を分析する。
• エルゴディック理論的技法と群作用の力学を用い、$\varphi_E^0 = \inf_{\gamma \in \Gamma} \varphi_E(\gamma)$ が不変集合の存在や $[F|A:E|A]$ のインデックスにどのように関連するかを関係づける。
• エプスタインの共誘導構成を用いて、基本的作用 $a$ のエルゴディック性を共誘導作用 $b = \mathrm{CInd}(a_0,b_0)^\Gamma_\Delta(a)$ に結びつける。
• $\varphi_E(\gamma) \to 0$ が $\gamma \to \infty$ のとき成り立つことは、すべての基本的作用 $a$ に対して共誘導作用が混合的であることと同値であることを証明する。
• カジワラの性質 (T) および HAP を用いて、$\varphi_E(\gamma)$ および固定点集合の測度の推定値を用いて、コスト $C(\Gamma)$ の定量的上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共誘導作用 $b$ が基本的作用 $a$ の混合性をどの程度 $\varphi_E(\gamma)$ の条件下で継承するか。
• RQ2 下限 $\varphi_E^0 = \inf_{\gamma \in \Gamma} \varphi_E(\gamma)$ が部分同値関係 $E \subseteq F$ の構造にどのような制約を課えるか。
• RQ3 $\varphi_E(\gamma)$ の減衰と共誘導作用 $b$ のエルゴディック性または混合性の関係は何か。
• RQ4 コスト $C(\Gamma)$ は、カジワラ対 $(Q,\epsilon)$ および $\varphi_E(\gamma)$ の挙動に基づいてバウンド可能か。
• RQ5 群 $\Gamma$ が HAP を持たない場合、$\min_{\gamma \in Q} \varphi_E(\gamma) > 1 - \epsilon$ ならば、$E$ を誘導する任意の群 $\Delta$ が HAP を持たないのはどのような場合か。

主な発見

• もし $\varphi_E^0 = \inf_{\gamma \in \Gamma} \varphi_E(\gamma) > \frac{1}{2}$ ならば、正の測度を持つボレル集合 $A \subseteq X$ に対して $F|A = E|A$ が成り立つ。
• もし $\varphi_E^0 > \frac{3}{4}$ ならば、$\mu(A) \geq 4\varphi_E^0 - 3$ を満たす $E$-不変ボレル集合 $A$ が存在する。
• 任意の無限群 $\Gamma$ が自由かつ混合的作用 $b_0$ を持つとき、$\varphi_E(\gamma) \to 0$ が $\gamma \to \infty$ のとき成り立つような、$\mathbb{Z}$ の自由かつ混合的作用 $a_0$ が存在する。
• 群 $\Gamma$ が非可換であるとき、自由かつ混合的作用 $b_0$ と自由かつエルゴディックな $F_2$ の作用 $a_0$ を持つことができ、このとき $\varphi_E(\gamma) \to 0$ が $\gamma \to \infty$ のとき成り立つ。
• 群 $\Gamma$ が性質 (T) を持ち、カジワラ対 $(Q,\epsilon)$ を持つとき、$Q$ に無限位数の元が含まれるならば、コストは $C(\Gamma) \leq n - \frac{\epsilon^2}{8}$ を満たす。
• 群 $\Gamma$ が HAP を持たないならば、$\min_{\gamma \in Q} \varphi_E(\gamma) > 1 - \epsilon$ ならば、$E$ を誘導する任意の群 $\Delta$ は HAP を持たない。