[論文レビュー] Subexponential tail equivalence of the queue length distributions of BMAP/GI/1 queues with and without retrials

Hiroyuki Masuyama|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 40被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、新しい確率的分解型結果と行列解析的手法を用いて、バッチサイズが重尾的である場合を含め、リトライ付きとリトライなしのBMAP/GI/1キューにおける定常キュー長分布の部分指数的尾部同等性を確立している。主な貢献は、バッチサイズが重尾的であっても、リトライキューの尾部挙動がリトライなしの標準キューと一致することを証明したことである。これは、先行研究が軽尾的バッチ到着を仮定していたのを拡張したものである。

ABSTRACT

The main contribution of this paper is to prove the subexponential tail equivalence of the stationary queue length distributions in the BMAP/GI/1 queues with and without retrials. We first present a stochastic-decomposition-like result of the stationary queue length in the BMAP/GI/1 retrial queue, which is an extension of the stochastic decomposition of the stationary queue length in the M${}^X$/GI/1 retrial queue. The stochastic-decomposition-like result shows that the stationary queue length distribution in the BMAP/GI/1 retrial queue is decomposed into two parts: the stationary conditional queue length distribution given that the server is idle; and a certain matrix sequence associated with the stationary queue length distribution in the corresponding standard BMAP/GI/1 queue (without retrials). Using the stochastic-decomposition-like result and matrix analytic methods, we prove the subexponential tail equivalence of the stationary queue length distributions in the BMAP/GI/1 queues with and without retrials. This tail equivalence result does not necessarily require that the size of an arriving batch is light-tailed, unlike Yamamuro's result for the M${}^X$/GI/1 retrial queue (Queueing Syst. 70:187--205, 2012). As a by-product, the key lemma to the roof of the main theorem presents a subexponential asymptotic formula for the stationary distribution of a level-dependent M/G/1-type Markov chain, which is the first reported result on the subexponential asymptotics of level-dependent block-structured Markov chains.

研究の動機と目的

• BMAP/GI/1リトライキューとリトライなしキューの定常キュー長分布の間における部分指数的尾部同等性を確立すること。
• M^X/GI/1リトライキューに知られている確率的分解構造を、より一般的なBMAP/GI/1リトライキューモデルに拡張すること。
• 先行研究（例：Yamamuro, 2012）が部分指数的尾部同等性を示すために必要としていた軽尾的バッチサイズの仮定を排除すること。
• レベル依存型M/G/1型マルコフ連鎖の定常分布の部分指数的尾部における新しい漸近公式を導出すること。
• 一般バッチ到着および重尾的サービス時間・到着間隔を持つリトライキューにおけるレアイベント挙動の分析のための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• BMAP/GI/1リトライキューにおける定常キュー長の確率的分解型表現を導出し、それを空き期間中のキュー長と標準BMAP/GI/1キューに関連する成分に分離する。
• 行列解析的手法を用いて、リトライモデルにおけるキュー長分布の尾部挙動を分析する。
• レベル依存型M/G/1型マルコフ連鎖に対する部分指数的漸近に関する重要な補題を用いる。これは、このクラスに対して初めての結果である。
• 行列列の上界・下界の極限を用いて尾確率を評価し、部分指数的分布の性質を活用する。
• 行列列と部分指数的減衰率を含む不等式を用いて、尾確率の収束を確立する。
• 付録の命題B.1およびB.2によって、部分指数的尾部を持つ行列列の畳み込み性質を形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BMAP/GI/1リトライキューにおける定常キュー長分布は、対応する標準BMAP/GI/1キューと同様に部分指数的尾部挙動を示すか？
• RQ2 M^X/GI/1リトライキューに知られている確率的分解結果をBMAP/GI/1リトライキューに一般化できるか？
• RQ3 バッチサイズ分布が重尾的である場合でも、部分指数的尾部同等性は保持されるか？（軽尾的である必要はないか？）
• RQ4 部分指数的尾部を持つレベル依存型M/G/1型マルコフ連鎖の定常分布の漸近的挙動はいかなるものか？
• RQ5 行列解析的手法を用いて、バッチマルコフ到着を持つ一般リトライキュー系の部分指数的漸近を導出できるか？

主な発見

• BMAP/GI/1リトライキューにおける定常キュー長分布は、標準BMAP/GI/1キューと部分指数的に同等であり、すなわち x→∞ のとき P(L^{(μ)}>x) ~ P(L^{(∞)}>x) が成り立つ。
• 確率的分解型結果により、リトライキュー長は空き期間中のキュー長と標準キューに関連する成分に分解され、尾部解析が可能になる。
• 重要な補題により、レベル依存型M/G/1型マルコフ連鎖の定常分布に対する部分指数的漸近公式が、初めて得られた。
• バッチサイズ分布が軽尾的でない場合（重尾的であっても）に、尾部同等性の結果が成り立つ。これは、Yamamuro（2012）のM^X/GI/1リトライキューに対する結果とは異なり、仮定が弱い。
• 命題B.1およびB.2により、部分指数的尾部を持つ行列列の畳み込みに関する漸近的ルールが確立され、精密な尾確率の境界が可能になる。
• 証明技法は、行列不等式と上界・下界の極限解析に依拠しており、一般条件下で尾部減衰率の同等性が確認される。