[論文レビュー] Subgraph discrepancies in the complete graph

Micha Christoph, Lior Gishboliner+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

Mathematical Approximation and Integration被引用数 0

ひとこと要約

要約はそのまま英語の内容を日本語訳します。

ABSTRACT

Given a 2-edge-coloring $f : E(K_n) ightarrow \{\pm 1\}$, the discrepancy of a subgraph $F \subseteq K_n$ is defined as $\left| \sum_{e \in E(F)} f(e) ight|$. Erdős, Füredi, Loebl and Sós showed that if $F$ is an $n$-vertex tree with maximum degree at most $(1-\varepsilon)n$, then every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy $Ω(\varepsilon)n$. We extend this result by showing that the same conclusion holds for every $n$-vertex graph with maximum degree at most $(1-\varepsilon)n$ and no isolated vertices. We also show that for every $d$-regular $n$-vertex graph $F$ with $d \leq (1-\varepsilon)n$, every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy $Ω(\sqrt{\varepsilon d}) \cdot n$. The dependence on $d$ and $n$ is best possible. Finally, we consider specific graphs $F$, namely $K_r$-factors and 2-factors. For each such graph $F$, we determine the optimal constant $λ$ such that every 2-coloring of $K_n$ has a copy of $F$ with discrepancy at least $(λ+ o(1))n$.

研究の動機と目的

• ツリーから一般のn頂点グラフへ不一致結果を一般化する（最大次数が at most (1-ε)n、孤立頂点なしの場合）。
• 正則および非正則のFに対して、K_nの2色着色におけるFのコピーの不一致の下界を確立する。
• K_k-ファクターおよび2-ファクターの不一致制約下での最適定数と極大構成を決定する。

提案手法

• FおよびホストグラフGのbiasedビセクションを用いて高不一致埋め込みを導出する（Lemma 2.1）。
• guest-goodおよびhost-goodの枠組み（Definitions 2.6および2.7）を開発し、主埋め込み補題（Lemma 2.8）を可能とする。
• 確率的方法と超幾何的議論を用いてエッジ数の偏差を制御する（Lemmas 2.9–2.13）。
• FとGのビセクション結果を組み合わせて主定理Lemmaを導出し、Theorems 1.1および1.2を証明する（Theorems 2.4–2.5 の適用）。
• K_k-ファクターおよび2ファクターの極端構成、特に二部構成を探索してK_k-ファクターおよび2ファクターの最悪ケースを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ω(ε n) の不一致界をツリーからΔ(F) ≤ (1-ε)nかつ孤立頂点なしのすべてのn-頂点グラフへ拡張できるか？
• RQ2 K_n の2色着色におけるd-regularなグラフFの不一致の依存性はdに対して正確にはどうなるか？
• RQ3 K_nの2色着色におけるK_k-ファクターのモノクロエッジ数の最適定数λ_kはどうなるか？
• RQ4 n-頂点の2ファクター（およびハミルトン回路）は、すべてのn-頂点2ファクターに対して同じ(2/3 − o(1))n の不一致界を持つか？
• RQ5 F-ファクターおよびF-構造に対してこれらの界を達成する厳密な極端構成（例: 二部構成）は何か？

主な発見

• ε>0かつ大きなnに対して、Δ(F) ≤ (1-ε)nかつ孤立頂点のない任意のn-頂点グラフFは、K_nにおいてコピーを持ち、不一致が少なくとも c·ε n（c>0は普遍的）となる。
• ε>0かつ十分大きなnに対して、d ≤ (1-ε)n のd-regularなn-頂点グラフFは、K_nにコピーを持ち、不一致が少なくとも c√(ε d) nとなり、定数以外は最適。
• K_k-ファクターについて、K_nの任意の2色着色は、少なくとも (λ_k − o(1)) n 本の同一色のエッジを含むK_k-ファクターを含み、λ_k は二部構成の極端構成によって定義される。
• n-vertex の2ファクターについて、K_nの任意の2色着色は、少なくとも (2/3 − o(1)) n 本の同一色のエッジを含むFのコピーを含み、定数 2/3 は最適で（二部構成で達成される）。
• これらの結果は、ツリー・マッチング・ハミルトン回路・ファクターに関する既存の不一致結果を統合・拡張して、広いクラスの張リのGuestグラフFへ適用する。